Номер 32.14, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.14, страница 204.

32.14. Постройте график уравнения и вычислите площадь фигуры, которая ограничена этим графиком:

a) $2|x| + 3|y| = 6;$

б) $\frac{1}{3}|x + 5| + \frac{1}{5}|y - 1| = 2;$

в) $0,5|x| + \frac{1}{3}|y| = 2;$

г) $\frac{|x - a|}{p} + \frac{|y - b|}{q} = 1, p > 0, q > 0.$

Общий вид уравнений в данной задаче — $A|x - a| + B|y - b| = C$, где $A > 0$, $B > 0$, $C > 0$. Графиком такого уравнения всегда является ромб с центром в точке $(a, b)$. Его диагонали параллельны осям координат. Для построения графика достаточно найти его вершины, а для вычисления площади — длины диагоналей.

а) $2|x| + 3|y| = 6$

Данное уравнение можно представить в виде $2|x - 0| + 3|y - 0| = 6$. Это уравнение ромба с центром в начале координат $(0, 0)$.

Для построения графика найдем точки его пересечения с осями координат, которые и будут вершинами ромба.
1. Найдем пересечения с осью $Oy$, положив $x=0$:
$2|0| + 3|y| = 6$
$3|y| = 6$
$|y| = 2$
Получаем две точки: $(0, 2)$ и $(0, -2)$.
2. Найдем пересечения с осью $Ox$, положив $y=0$:
$2|x| + 3|0| = 6$
$2|x| = 6$
$|x| = 3$
Получаем еще две точки: $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

Таким образом, график уравнения — это ромб с вершинами в точках $(3, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 2)$ и $(0, -2)$.

Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей.
Длина горизонтальной диагонали $d_1$ (вдоль оси $Ox$) равна расстоянию между точками $(3, 0)$ и $(-3, 0)$: $d_1 = 3 - (-3) = 6$.
Длина вертикальной диагонали $d_2$ (вдоль оси $Oy$) равна расстоянию между точками $(0, 2)$ и $(0, -2)$: $d_2 = 2 - (-2) = 4$.
Площадь фигуры: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

Ответ: 12.

б) $|\frac{1}{3}x + 5| + |\frac{1}{5}y - 1| = 2$

Преобразуем уравнение, чтобы определить центр ромба:
$|\frac{1}{3}(x + 15)| + |\frac{1}{5}(y - 5)| = 2$
$\frac{1}{3}|x - (-15)| + \frac{1}{5}|y - 5| = 2$
Это уравнение ромба с центром в точке $(-15, 5)$.

Найдем вершины ромба.
1. Положим $x = -15$:
$|\frac{1}{3}(-15) + 5| + |\frac{1}{5}y - 1| = 2$
$|0| + |\frac{1}{5}y - 1| = 2$
$|\frac{1}{5}y - 1| = 2$
Отсюда $\frac{1}{5}y - 1 = 2$ или $\frac{1}{5}y - 1 = -2$.
$\frac{1}{5}y = 3 \implies y = 15$. Вершина $(-15, 15)$.
$\frac{1}{5}y = -1 \implies y = -5$. Вершина $(-15, -5)$.
2. Положим $y = 5$:
$|\frac{1}{3}x + 5| + |\frac{1}{5}(5) - 1| = 2$
$|\frac{1}{3}x + 5| + |0| = 2$
$|\frac{1}{3}x + 5| = 2$
Отсюда $\frac{1}{3}x + 5 = 2$ или $\frac{1}{3}x + 5 = -2$.
$\frac{1}{3}x = -3 \implies x = -9$. Вершина $(-9, 5)$.
$\frac{1}{3}x = -7 \implies x = -21$. Вершина $(-21, 5)$.

График — ромб с вершинами в точках $(-15, 15)$, $(-15, -5)$, $(-9, 5)$ и $(-21, 5)$.

Вычислим площадь.
Длина горизонтальной диагонали $d_1$ равна расстоянию между точками $(-9, 5)$ и $(-21, 5)$: $d_1 = -9 - (-21) = 12$.
Длина вертикальной диагонали $d_2$ равна расстоянию между точками $(-15, 15)$ и $(-15, -5)$: $d_2 = 15 - (-5) = 20$.
Площадь фигуры: $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 = 120$.

Ответ: 120.

в) $0,5|x| + \frac{1}{3}|y| = 2$

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2}|x| + \frac{1}{3}|y| = 2$. Это уравнение ромба с центром в начале координат $(0, 0)$.

Найдем вершины ромба, которые лежат на осях координат.
1. При $x = 0$:
$\frac{1}{3}|y| = 2 \implies |y| = 6$. Вершины: $(0, 6)$ и $(0, -6)$.
2. При $y = 0$:
$0,5|x| = 2 \implies |x| = 4$. Вершины: $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.

График — ромб с вершинами в точках $(4, 0)$, $(-4, 0)$, $(0, 6)$ и $(0, -6)$.

Вычислим площадь.
Длина горизонтальной диагонали $d_1 = 4 - (-4) = 8$.
Длина вертикальной диагонали $d_2 = 6 - (-6) = 12$.
Площадь фигуры: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 = 48$.

Ответ: 48.

г) $\frac{|x - a|}{p} + \frac{|y - b|}{q} = 1$, $p > 0$, $q > 0$

Данное уравнение уже представлено в каноническом виде для ромба с центром в точке $(a, b)$. Параметры $p$ и $q$ определяют размеры ромба.

Найдем вершины ромба.
1. Положим $x = a$:
$\frac{|a - a|}{p} + \frac{|y - b|}{q} = 1$
$\frac{|y - b|}{q} = 1 \implies |y - b| = q$
$y - b = q \implies y = b + q$. Вершина $(a, b+q)$.
$y - b = -q \implies y = b - q$. Вершина $(a, b-q)$.
2. Положим $y = b$:
$\frac{|x - a|}{p} + \frac{|b - b|}{q} = 1$
$\frac{|x - a|}{p} = 1 \implies |x - a| = p$
$x - a = p \implies x = a + p$. Вершина $(a+p, b)$.
$x - a = -p \implies x = a - p$. Вершина $(a-p, b)$.

График — ромб с вершинами в точках $(a+p, b)$, $(a-p, b)$, $(a, b+q)$ и $(a, b-q)$.

Вычислим площадь.
Длина горизонтальной диагонали $d_1$ равна расстоянию между точками $(a+p, b)$ и $(a-p, b)$: $d_1 = (a+p) - (a-p) = 2p$.
Длина вертикальной диагонали $d_2$ равна расстоянию между точками $(a, b+q)$ и $(a, b-q)$: $d_2 = (b+q) - (b-q) = 2q$.
Площадь фигуры: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot (2p) \cdot (2q) = 2pq$.

Ответ: $2pq$.