Номер 32.16, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.16, страница 205.

32.16. Постройте на координатной плоскости множество точек $ (x; y) $ таких, что $ |x - 3| + |y + 3| = 3 $, и определите все значения, которые на этом множестве принимает выражение:

а) $ -3x - 2y $

б) $ x^2 + y^2 $

в) $ 5x + 7y $

г) $ xy $

Множество точек, удовлетворяющих уравнению $|x - 3| + |y + 3| = 3$, представляет собой квадрат с центром в точке $(3, -3)$ и вершинами, смещенными от центра на 3 единицы по осям. Найдем координаты вершин:

• Вершина A: $(3, -3+3) = (3, 0)$
• Вершина B: $(3+3, -3) = (6, -3)$
• Вершина C: $(3, -3-3) = (3, -6)$
• Вершина D: $(3-3, -3) = (0, -3)$

Таким образом, множество точек — это контур квадрата с вершинами в точках A(3, 0), B(6, -3), C(3, -6) и D(0, -3). Для нахождения диапазона значений выражений будем анализировать их на этом множестве.

а) $-3x - 2y$

Выражение $F(x, y) = -3x - 2y$ является линейным. Линейная функция на многоугольнике достигает своих наибольшего и наименьшего значений в его вершинах. Вычислим значения выражения в вершинах квадрата:

• $F(3, 0) = -3(3) - 2(0) = -9$
• $F(6, -3) = -3(6) - 2(-3) = -18 + 6 = -12$
• $F(3, -6) = -3(3) - 2(-6) = -9 + 12 = 3$
• $F(0, -3) = -3(0) - 2(-3) = 6$

Наименьшее значение равно $-12$, а наибольшее равно $6$.
Ответ: $[-12; 6]$.

б) $x^2 + y^2$

Выражение $F(x, y) = x^2 + y^2$ представляет собой квадрат расстояния от начала координат $(0, 0)$ до точки $(x, y)$ на квадрате.
Найдем наибольшее значение. Оно будет достигаться в одной из вершин, наиболее удаленной от начала координат. Вычислим квадраты расстояний до вершин:

• $d_A^2 = 3^2 + 0^2 = 9$
• $d_B^2 = 6^2 + (-3)^2 = 36 + 9 = 45$
• $d_C^2 = 3^2 + (-6)^2 = 9 + 36 = 45$
• $d_D^2 = 0^2 + (-3)^2 = 9$

Наибольшее значение равно $45$.
Найдем наименьшее значение. Оно будет достигаться в точке на стороне квадрата, ближайшей к началу координат. Начало координат $(0, 0)$ находится вне квадрата. Ближайшей стороной является сторона AD, лежащая на прямой $y = x - 3$ (при $x \in [0, 3]$). Расстояние от точки $(0,0)$ до прямой $x - y - 3 = 0$ равно $d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$. Точка на прямой, реализующая это расстояние, имеет координаты $(1.5, -1.5)$, и она принадлежит отрезку AD. Тогда минимальное значение выражения $x^2 + y^2$ равно $d^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{9}{2} = 4.5$.
Ответ: $[4.5; 45]$.

в) $5x + 7y$

Выражение $F(x, y) = 5x + 7y$ является линейным. Его экстремумы достигаются в вершинах квадрата.

• $F(3, 0) = 5(3) + 7(0) = 15$
• $F(6, -3) = 5(6) + 7(-3) = 30 - 21 = 9$
• $F(3, -6) = 5(3) + 7(-6) = 15 - 42 = -27$
• $F(0, -3) = 5(0) + 7(-3) = -21$

Наименьшее значение равно $-27$, а наибольшее равно $15$.
Ответ: $[-27; 15]$.

г) $xy$

Выражение $F(x, y) = xy$ не является линейным, поэтому нужно исследовать его поведение на каждой стороне квадрата.
Значения в вершинах: $F(3,0)=0$, $F(6,-3)=-18$, $F(3,-6)=-18$, $F(0,-3)=0$.
1. Сторона AD: $y = x - 3$ при $x \in [0, 3]$. Тогда $F(x) = x(x-3) = x^2 - 3x$. Это парабола с вершиной в $x = 1.5$. Значение в вершине: $F(1.5) = 1.5^2 - 3 \cdot 1.5 = 2.25 - 4.5 = -2.25$. На этом отрезке значения меняются в диапазоне $[-2.25; 0]$.
2. Сторона DC: $y = -x - 3$ при $x \in [0, 3]$. Тогда $F(x) = x(-x-3) = -x^2 - 3x$. На этом отрезке функция убывает от $F(0)=0$ до $F(3)=-18$. Диапазон $[-18; 0]$.
3. Сторона CB: $y = x - 9$ при $x \in [3, 6]$. Тогда $F(x) = x(x-9) = x^2 - 9x$. Это парабола с вершиной в $x = 4.5$. Значение в вершине: $F(4.5) = 4.5^2 - 9 \cdot 4.5 = 20.25 - 40.5 = -20.25$. На концах отрезка $F(3)=-18$ и $F(6)=-18$. Диапазон на этой стороне $[-20.25; -18]$.
4. Сторона BA: $y = -x + 3$ при $x \in [3, 6]$. Тогда $F(x) = x(-x+3) = -x^2 + 3x$. На этом отрезке функция убывает от $F(3)=0$ до $F(6)=-18$. Диапазон $[-18; 0]$.
Объединяя все полученные диапазоны значений $[-2.25; 0] \cup [-18; 0] \cup [-20.25; -18] \cup [-18; 0]$, получаем итоговый диапазон.
Наименьшее значение равно $-20.25$, а наибольшее равно $0$.
Ответ: $[-20.25; 0]$.