Номер 32.10, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.10, страница 203.

32.10. a) $\frac{x^2 - 9y^2}{(x - 3y)(x + 3y)} = 1;$

б) $\frac{|x + y|}{(x + y)^2} = 1;$

в) $(x + 3y - 1)^2 + (x^2 - 3xy - 4y^2)^2 = 0;$

г) $|x^2 - y - 2| + |x^2 + y^2 - 2| = 0.$

а)

Исходное уравнение: $\frac{x^2 - 9y^2}{(x - 3y)(x + 3y)} = 1$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$(x - 3y)(x + 3y) \neq 0$
Это означает, что $x - 3y \neq 0$ и $x + 3y \neq 0$, то есть $x \neq 3y$ и $x \neq -3y$.
Теперь преобразуем числитель. Выражение $x^2 - 9y^2$ является разностью квадратов:
$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\frac{(x - 3y)(x + 3y)}{(x - 3y)(x + 3y)} = 1$.
При выполнении условий ОДЗ ($x \neq 3y$ и $x \neq -3y$), дробь в левой части уравнения равна 1. Таким образом, мы получаем тождество $1 = 1$.
Это означает, что решением уравнения являются все пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq 3y$ и $x \neq -3y$.

б)

Исходное уравнение: $\frac{|x + y|}{(x + y)^2} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, то есть $(x + y)^2 \neq 0$, откуда $x + y \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $(x + y)^2$ (это возможно, так как по ОДЗ это выражение не равно нулю):
$|x + y| = (x + y)^2$.
Пусть $t = x + y$. Уравнение примет вид $|t| = t^2$. Условие ОДЗ: $t \neq 0$.
Так как $t^2 = |t|^2$, уравнение можно переписать как $|t| = |t|^2$.
$|t|^2 - |t| = 0$
$|t|(|t| - 1) = 0$
Отсюда $|t| = 0$ или $|t| - 1 = 0$.
Поскольку $t \neq 0$, то $|t| \neq 0$. Остается только вариант $|t| - 1 = 0$, то есть $|t| = 1$.
Это означает, что $t = 1$ или $t = -1$.
Возвращаясь к переменным $x$ и $y$, получаем:
$x + y = 1$ или $x + y = -1$.

Ответ: все пары чисел $(x, y)$, удовлетворяющие условиям $x+y=1$ или $x+y=-1$.

в)

Исходное уравнение: $(x + 3y - 1)^2 + (x^2 - 3xy - 4y^2)^2 = 0$.
Это уравнение представляет собой сумму двух квадратов, равную нулю. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому сумма двух квадратов равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x + 3y - 1 = 0 \\ x^2 - 3xy - 4y^2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 1 - 3y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(1 - 3y)^2 - 3(1 - 3y)y - 4y^2 = 0$
Раскроем скобки и упростим:
$(1 - 6y + 9y^2) - (3y - 9y^2) - 4y^2 = 0$
$1 - 6y + 9y^2 - 3y + 9y^2 - 4y^2 = 0$
Приведем подобные члены:
$14y^2 - 9y + 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 14 \cdot 1 = 81 - 56 = 25$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 14} = \frac{9 + 5}{28} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{25}}{2 \cdot 14} = \frac{9 - 5}{28} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$.
Если $y_1 = \frac{1}{2}$, то $x_1 = 1 - 3(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
Если $y_2 = \frac{1}{7}$, то $x_2 = 1 - 3(\frac{1}{7}) = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$, $(\frac{4}{7}; \frac{1}{7})$.

г)

Исходное уравнение: $|x^2 - y - 2| + |x^2 + y^2 - 2| = 0$.
Это уравнение представляет собой сумму двух модулей (абсолютных величин), равную нулю. Модуль любого действительного числа неотрицателен, поэтому сумма двух модулей равна нулю только в том случае, если выражения под каждым модулем равны нулю. Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x^2 - y - 2 = 0 \\ x^2 + y^2 - 2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x^2$:
$x^2 = y + 2$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(y + 2) + y^2 - 2 = 0$
$y^2 + y = 0$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(y + 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$.
Случай 1: $y_1 = 0$.
$x^2 = 0 + 2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Получаем два решения: $(\sqrt{2}, 0)$ и $(-\sqrt{2}, 0)$.
Случай 2: $y_2 = -1$.
$x^2 = -1 + 2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} = \pm 1$.
Получаем еще два решения: $(1, -1)$ и $(-1, -1)$.
Всего получаем четыре решения.

Ответ: $(\sqrt{2}; 0)$, $(-\sqrt{2}; 0)$, $(1; -1)$, $(-1; -1)$.