Номер 32.15, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.15, страница 205.

32.15. Постройте на координатной плоскости множество точек $(x; y)$ таких, что $|x| + 3|y| = 6$, и определите все значения, которые на этом множестве принимает выражение:

а) $x$;

б) $y$;

в) $x + 3y$;

г) $x + y$.

Сначала построим на координатной плоскости множество точек $(x; y)$, удовлетворяющих уравнению $|x| + 3|y| = 6$. Для этого раскроем модули, рассмотрев четыре случая, соответствующие четырем координатным квадрантам.

• 1. Первый квадрант: $x \ge 0, y \ge 0$.
  Уравнение принимает вид $x + 3y = 6$. Это отрезок прямой, соединяющий точки, в которых он пересекает оси координат: $(6, 0)$ и $(0, 2)$.
• 2. Второй квадрант: $x < 0, y \ge 0$.
  Уравнение принимает вид $-x + 3y = 6$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-6, 0)$ и $(0, 2)$.
• 3. Третий квадрант: $x < 0, y < 0$.
  Уравнение принимает вид $-x - 3y = 6$, или $x + 3y = -6$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-6, 0)$ и $(0, -2)$.
• 4. Четвертый квадрант: $x \ge 0, y < 0$.
  Уравнение принимает вид $x - 3y = 6$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(6, 0)$ и $(0, -2)$.

Таким образом, искомое множество точек — это ромб, вершины которого находятся в точках $A(6, 0)$, $B(0, 2)$, $C(-6, 0)$ и $D(0, -2)$.

Теперь определим все значения, которые принимают указанные выражения на этом множестве. Для линейных выражений вида $ax+by$ на замкнутом многоугольнике, каковым является ромб, минимальные и максимальные значения всегда достигаются в его вершинах.

а)
Рассмотрим выражение $x$. Его значение — это абсцисса точки на ромбе. Глядя на вершины, мы видим, что наименьшее значение абсциссы равно $-6$ (в точке $C(-6, 0)$), а наибольшее равно $6$ (в точке $A(6, 0)$). Поскольку ромб является связным множеством, переменная $x$ принимает все значения между минимальным и максимальным.

Ответ: $x \in [-6, 6]$.

б)
Рассмотрим выражение $y$. Его значение — это ордината точки на ромбе. Наименьшее значение ординаты равно $-2$ (в точке $D(0, -2)$), а наибольшее равно $2$ (в точке $B(0, 2)$). Переменная $y$ принимает все значения из отрезка.

Ответ: $y \in [-2, 2]$.

в)
Рассмотрим выражение $x + 3y$. Вычислим его значения в вершинах ромба:

• В точке $A(6, 0)$: $6 + 3 \cdot 0 = 6$.
• В точке $B(0, 2)$: $0 + 3 \cdot 2 = 6$.
• В точке $C(-6, 0)$: $-6 + 3 \cdot 0 = -6$.
• В точке $D(0, -2)$: $0 + 3 \cdot (-2) = -6$.

Наименьшее значение выражения равно $-6$, а наибольшее равно $6$.

Ответ: $x + 3y \in [-6, 6]$.

г)
Рассмотрим выражение $x + y$. Вычислим его значения в вершинах ромба:

• В точке $A(6, 0)$: $6 + 0 = 6$.
• В точке $B(0, 2)$: $0 + 2 = 2$.
• В точке $C(-6, 0)$: $-6 + 0 = -6$.
• В точке $D(0, -2)$: $0 + (-2) = -2$.

Наименьшее значение равно $-6$ (в точке $C$), а наибольшее равно $6$ (в точке $A$). Выражение принимает все значения между ними.

Ответ: $x + y \in [-6, 6]$.