Номер 32.21, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.21, страница 205.

32.21. a) $x + 2y = 7;$

Б) $7x + 2y = 1;$

В) $5x + y = 17;$

Г) $7x - 12y = 1.$

а) Дано линейное диофантово уравнение $x + 2y = 7$.
Это уравнение нужно решить в целых числах. Выразим переменную $x$ через $y$:
$x = 7 - 2y$
Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, из этого выражения видно, что для любого целого значения $y$ значение $x$ также будет целым. Обозначим $y$ через целочисленный параметр $k$.
Пусть $y = k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Тогда $x = 7 - 2k$.
Таким образом, общее решение уравнения в целых числах имеет вид:$x = 7 - 2k$, $y = k$.
Ответ: $x = 7 - 2k, y = k$, где $k$ — любое целое число.

б) Дано линейное диофантово уравнение $7x + 2y = 1$.
Выразим член с переменной $y$:
$2y = 1 - 7x$
Чтобы $y$ было целым числом, выражение $1 - 7x$ должно быть четным, то есть делиться на 2. Запишем это условие в виде сравнения по модулю 2:
$1 - 7x \equiv 0 \pmod{2}$
Поскольку $7 \equiv 1 \pmod{2}$, сравнение упрощается:
$1 - x \equiv 0 \pmod{2}$
$x \equiv 1 \pmod{2}$
Это означает, что $x$ должно быть нечетным числом. Любое нечетное число можно представить в виде $x = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Теперь подставим это выражение для $x$ в формулу для $y$:
$y = \frac{1 - 7x}{2} = \frac{1 - 7(2k + 1)}{2} = \frac{1 - 14k - 7}{2} = \frac{-6 - 14k}{2} = -3 - 7k$
Таким образом, общее решение уравнения в целых числах:
$x = 2k + 1$, $y = -3 - 7k$.
Ответ: $x = 2k + 1, y = -3 - 7k$, где $k$ — любое целое число.

в) Дано линейное диофантово уравнение $5x + y = 17$.
В этом уравнении легко выразить переменную $y$ через $x$:
$y = 17 - 5x$
Из этого выражения видно, что для любого целого значения $x$ значение $y$ также будет целым. Введем целочисленный параметр $k$.
Пусть $x = k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Тогда $y = 17 - 5k$.
Общее решение уравнения в целых числах имеет вид:$x = k$, $y = 17 - 5k$.
Ответ: $x = k, y = 17 - 5k$, где $k$ — любое целое число.

г) Дано линейное диофантово уравнение $7x - 12y = 1$.
Коэффициенты при $x$ и $y$ равны 7 и -12. Наибольший общий делитель $\text{НОД}(7, 12) = 1$, который делит правую часть уравнения (1), следовательно, уравнение имеет решения в целых числах.Выразим $x$ через $y$:
$7x = 1 + 12y$
$x = \frac{1 + 12y}{7}$
Для того чтобы $x$ было целым числом, выражение $1 + 12y$ должно делиться на 7. Запишем это в виде сравнения по модулю 7:
$1 + 12y \equiv 0 \pmod{7}$
Поскольку $12 \equiv 5 \pmod{7}$, мы можем упростить сравнение:
$1 + 5y \equiv 0 \pmod{7}$
$5y \equiv -1 \pmod{7}$
$5y \equiv 6 \pmod{7}$
Чтобы решить это сравнение, нужно найти число, обратное к 5 по модулю 7. Методом подбора находим, что $5 \cdot 3 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$. Значит, обратное число — это 3. Умножим обе части сравнения на 3:
$3 \cdot 5y \equiv 3 \cdot 6 \pmod{7}$
$15y \equiv 18 \pmod{7}$
$y \equiv 4 \pmod{7}$
Это означает, что $y$ можно представить в виде $y = 7k + 4$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Теперь подставим это выражение для $y$ в формулу для $x$:
$x = \frac{1 + 12(7k + 4)}{7} = \frac{1 + 84k + 48}{7} = \frac{49 + 84k}{7} = 7 + 12k$
Итак, общее решение уравнения в целых числах:
$x = 12k + 7$, $y = 7k + 4$.
Ответ: $x = 12k + 7, y = 7k + 4$, где $k$ — любое целое число.