Номер 32.26, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.26, страница 206.

32.26. Укажите на координатной плоскости все точки $(x; y)$ такие, что выражение $x + 3y - 4$ принимает:

а) неположительные значения;

б) значения, меньшие числа $-8$.

а) неположительные значения;

Условие "выражение $x + 3y - 4$ принимает неположительные значения" означает, что его значения меньше или равны нулю. Это можно записать в виде неравенства:

$x + 3y - 4 \le 0$

Это линейное неравенство с двумя переменными, которое на координатной плоскости задает замкнутую полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая, уравнение которой $x + 3y - 4 = 0$.

Для того чтобы построить эту прямую, найдем две точки, через которые она проходит.
1. Найдем точку пересечения с осью $Ox$, для этого примем $y=0$:
$x + 3(0) - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$. Точка $(4, 0)$.
2. Найдем точку пересечения с осью $Oy$, для этого примем $x=0$:
$0 + 3y - 4 = 0 \Rightarrow 3y = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{3}$. Точка $(0, \frac{4}{3})$.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки на самой прямой $x + 3y - 4 = 0$ являются решениями. Поэтому на графике прямую следует изображать сплошной линией.

Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является решением, выберем контрольную точку, не лежащую на прямой. Удобно использовать начало координат $(0, 0)$. Подставим эти координаты в исходное неравенство:

$0 + 3 \cdot 0 - 4 \le 0$

$-4 \le 0$

Это верное неравенство. Следовательно, искомое множество точек — это полуплоскость, которая содержит точку $(0, 0)$.

Ответ: Искомое множество точек — это замкнутая полуплоскость, ограниченная прямой $x + 3y - 4 = 0$ и содержащая начало координат. Графически это все точки на прямой $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$ и все точки плоскости, расположенные ниже этой прямой.

б) значения, меньшие числа –8.

Условие "выражение $x + 3y - 4$ принимает значения, меньшие числа –8" означает, что его значения строго меньше –8. Запишем это в виде неравенства:

$x + 3y - 4 < -8$

Упростим неравенство, прибавив 8 к обеим его частям:

$x + 3y + 4 < 0$

Это линейное неравенство задает на координатной плоскости открытую полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая $x + 3y + 4 = 0$.

Для построения этой прямой найдем две ее точки:
1. При $y=0$: $x + 3(0) + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$. Точка $(-4, 0)$.
2. При $x=-1$: $-1 + 3y + 4 = 0 \Rightarrow 3y = -3 \Rightarrow y = -1$. Точка $(-1, -1)$.

Так как неравенство строгое ($<$), точки на самой прямой $x + 3y + 4 = 0$ не являются решениями. Поэтому на графике прямую следует изображать пунктирной (штриховой) линией.

Чтобы определить нужную полуплоскость, снова выберем контрольную точку $(0, 0)$ и подставим ее координаты в неравенство $x + 3y + 4 < 0$:

$0 + 3 \cdot 0 + 4 < 0$

$4 < 0$

Это неверное неравенство. Следовательно, искомое множество точек — это полуплоскость, которая не содержит точку $(0, 0)$.

Ответ: Искомое множество точек — это открытая полуплоскость, ограниченная прямой $x + 3y + 4 = 0$ и не содержащая начало координат. Графически это все точки плоскости, расположенные ниже прямой $y = -\frac{1}{3}x - \frac{4}{3}$. Сама прямая в это множество не входит.