Номер 32.32, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.32, страница 207.

32.32. a) $2|x-3| + 2x - 3y \le 0;$

б) $|x-3| + |y+2| \ge 2x + 5.$

а)

Рассмотрим неравенство с двумя переменными $2|x - 3| + 2x - 3y \le 0$. Решением данного неравенства является некоторая область на координатной плоскости $Oxy$.

Для начала выразим $y$ из неравенства:

$3y \ge 2|x - 3| + 2x$

$y \ge \frac{2|x - 3| + 2x}{3}$

Далее, для того чтобы избавиться от знака модуля, рассмотрим два случая в зависимости от знака подмодульного выражения $x - 3$.

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
В этом случае $|x - 3| = x - 3$. Подставим это выражение в наше неравенство:

$y \ge \frac{2(x - 3) + 2x}{3}$

Упростим правую часть:

$y \ge \frac{2x - 6 + 2x}{3}$

$y \ge \frac{4x - 6}{3}$

Итак, при $x \ge 3$ решением является множество точек, для которых $y \ge \frac{4}{3}x - 2$.

Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.
В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Подставим это выражение в неравенство:

$y \ge \frac{2(3 - x) + 2x}{3}$

Упростим правую часть:

$y \ge \frac{6 - 2x + 2x}{3}$

$y \ge \frac{6}{3}$

$y \ge 2$

Таким образом, при $x < 3$ решением является множество точек, для которых $y \ge 2$.

Объединяя оба случая, мы получаем, что решением является множество точек $(x, y)$, которое на координатной плоскости расположено на и выше ломаной линии. Эта ломаная состоит из луча прямой $y=2$ при $x \le 3$ и луча прямой $y = \frac{4}{3}x - 2$ при $x \ge 3$. Точкой излома является точка $(3, 2)$.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых выполняется $y \ge \frac{4}{3}x - 2$ при $x \ge 3$ и $y \ge 2$ при $x < 3$.

б)

Рассмотрим неравенство $|x - 3| + |y + 2| \ge 2x + 5$.

Это неравенство с двумя переменными, и его решением также является область на координатной плоскости. Границы этой области определяются уравнением $|x - 3| + |y + 2| = 2x + 5$. Для решения необходимо раскрыть модули. Прямые $x=3$ и $y=-2$ делят координатную плоскость на четыре области. Рассмотрим неравенство в каждой из них.

Случай 1: Область, где $x \ge 3$ и $y \ge -2$.
В этой области $|x - 3| = x - 3$ и $|y + 2| = y + 2$. Неравенство принимает вид:

$(x - 3) + (y + 2) \ge 2x + 5$

$x + y - 1 \ge 2x + 5$

$y \ge x + 6$

Случай 2: Область, где $x \ge 3$ и $y < -2$.
В этой области $|x - 3| = x - 3$ и $|y + 2| = -(y + 2)$. Неравенство принимает вид:

$(x - 3) - (y + 2) \ge 2x + 5$

$x - y - 5 \ge 2x + 5$

$-y \ge x + 10$

$y \le -x - 10$

Случай 3: Область, где $x < 3$ и $y \ge -2$.
В этой области $|x - 3| = -(x - 3)$ и $|y + 2| = y + 2$. Неравенство принимает вид:

$-(x - 3) + (y + 2) \ge 2x + 5$

$-x + 3 + y + 2 \ge 2x + 5$

$-x + y + 5 \ge 2x + 5$

$y \ge 3x$

Случай 4: Область, где $x < 3$ и $y < -2$.
В этой области $|x - 3| = -(x - 3)$ и $|y + 2| = -(y + 2)$. Неравенство принимает вид:

$-(x - 3) - (y + 2) \ge 2x + 5$

$-x + 3 - y - 2 \ge 2x + 5$

$-x - y + 1 \ge 2x + 5$

$-y \ge 3x + 4$

$y \le -3x - 4$

Объединяя все четыре случая, мы получаем итоговое решение.

Ответ: Множество точек $(x, y)$ на плоскости, удовлетворяющих совокупности условий: при $x \ge 3$ должно выполняться либо $y \ge x + 6$, либо $y \le -x - 10$; при $x < 3$ должно выполняться либо $y \ge 3x$, либо $y \le -3x - 4$.