Номер 32.37, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.37, страница 207.

32.37. a) $\frac{4 - x^2}{2x + 3y - 6} \ge 0;$

б) $\frac{x^2 + y^2 - 4}{|x| + |y| - 2} \le 0.$

a)

Рассмотрим неравенство $\frac{4 - x^2}{2x + 3y - 6} \ge 0$.
Дробь будет неотрицательной, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, либо если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности двух систем.

Важным условием является то, что знаменатель не может быть равен нулю: $2x + 3y - 6 \neq 0$, что означает, что точки, лежащие на прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$, не входят в решение. На графике эта прямая изображается пунктирной линией.

Границами, разделяющими плоскость на области, являются прямые, где числитель или знаменатель равны нулю:
1. $4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$ и $x = -2$. Это две вертикальные прямые. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки на этих прямых входят в решение (сплошные линии), кроме тех, где знаменатель равен нулю.
2. $2x + 3y - 6 = 0 \implies y = -\frac{2}{3}x + 2$. Это наклонная прямая.

Разобьем задачу на два случая:

Случай 1: Числитель и знаменатель положительны (числитель может быть равен нулю).
$\begin{cases} 4 - x^2 \ge 0 \\ 2x + 3y - 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 \le 4 \\ 3y > -2x + 6 \end{cases} \implies \begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ y > -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$
Решением этой системы является область, заключенная между вертикальными прямыми $x = -2$ и $x = 2$ (включая эти прямые) и расположенная выше прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$ (не включая прямую).

Случай 2: Числитель и знаменатель отрицательны (числитель может быть равен нулю).
$\begin{cases} 4 - x^2 \le 0 \\ 2x + 3y - 6 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 \ge 4 \\ 3y < -2x + 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -2 \text{ или } x \ge 2 \\ y < -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$
Решением этой системы является объединение двух областей:
- область левее прямой $x = -2$ (включая прямую) и ниже прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$ (не включая прямую);
- область правее прямой $x = 2$ (включая прямую) и ниже прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$ (не включая прямую).

Общее решение неравенства — это объединение областей, найденных в обоих случаях.

Ответ: Искомое множество точек представляет собой объединение двух непересекающихся областей. Первая область задается системой $\begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ y > -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$. Вторая область представляет собой объединение двух частей плоскости, заданных условиями $\begin{cases} x \le -2 \\ y < -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$ и $\begin{cases} x \ge 2 \\ y < -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$. Граничные прямые $x=-2$ и $x=2$ входят в решение, а прямая $y = -\frac{2}{3}x + 2$ не входит.

б)

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 + y^2 - 4}{|x| + |y| - 2} \le 0$.
Дробь будет неположительной, если числитель и знаменатель имеют разные знаки, либо если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности двух систем.

Знаменатель не может быть равен нулю: $|x| + |y| - 2 \neq 0$, то есть $|x| + |y| \neq 2$. Это уравнение задает квадрат с вершинами в точках $(2,0), (0,2), (-2,0), (0,-2)$. Граница этого квадрата не входит в решение (изображается пунктирной линией).

Границами, разделяющими плоскость на области, являются:
1. $x^2 + y^2 - 4 = 0 \implies x^2 + y^2 = 4$. Это окружность с центром в начале координат и радиусом 2. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки на окружности входят в решение (сплошная линия), кроме тех, где знаменатель равен нулю.
2. $|x| + |y| - 2 = 0 \implies |x| + |y| = 2$. Это упомянутый выше квадрат.

Разобьем задачу на два случая:

Случай 1: Числитель неотрицателен, а знаменатель отрицателен.
$\begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \ge 0 \\ |x| + |y| - 2 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 + y^2 \ge 4 \\ |x| + |y| < 2 \end{cases}$
Проанализируем второе неравенство. Если $|x| + |y| < 2$, то, возведя в квадрат обе части (они неотрицательны), получим $(|x| + |y|)^2 < 4$, что раскрывается как $x^2 + y^2 + 2|xy| < 4$. Так как $2|xy| \ge 0$, то отсюда следует, что $x^2 + y^2 < 4$. Это противоречит первому неравенству системы $x^2 + y^2 \ge 4$. Следовательно, эта система не имеет решений.

Случай 2: Числитель неположителен, а знаменатель положителен.
$\begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \le 0 \\ |x| + |y| - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ |x| + |y| > 2 \end{cases}$
Решением этой системы являются точки, которые находятся одновременно:
- внутри или на границе круга с центром в $(0,0)$ и радиусом 2;
- вне квадрата с вершинами $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$.

Квадрат $|x|+|y|=2$ вписан в окружность $x^2+y^2=4$. Вершины квадрата $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$ лежат на окружности. В этих четырех точках знаменатель обращается в ноль, поэтому они не входят в искомое множество. Таким образом, решением является область между окружностью и квадратом.

Ответ: Искомое множество точек — это фигура, ограниченная снаружи окружностью $x^2 + y^2 = 4$ и изнутри квадратом $|x| + |y| = 2$. Граница окружности включается в решение, за исключением четырех вершин квадрата $(\pm 2, 0)$ и $(0, \pm 2)$, а граница квадрата не включается.