Номер 32.41, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.41, страница 208.

•32.41. Решите уравнение:

a) $\sqrt{(x - 2y + 1)^2 + 1} + \sqrt{(3x - y - 2)^2 + 25} = 6;$

б) $\lg (1000 - 9x^2 - 4y^2 + 12xy) + \frac{1}{\pi} \arccos((x + y - 5)^2 - 1) = 4.$

а) Рассмотрим уравнение $\sqrt{(x - 2y + 1)^2 + 1} + \sqrt{(3x - y - 2)^2 + 25} = 6$.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки. Оценим каждое слагаемое в левой части уравнения.

Первое слагаемое: $\sqrt{(x - 2y + 1)^2 + 1}$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x - 2y + 1)^2 \ge 0$. Отсюда следует, что подкоренное выражение $(x - 2y + 1)^2 + 1 \ge 1$. Тогда само слагаемое $\sqrt{(x - 2y + 1)^2 + 1} \ge \sqrt{1} = 1$. Наименьшее значение, равное 1, достигается при условии $x - 2y + 1 = 0$.

Второе слагаемое: $\sqrt{(3x - y - 2)^2 + 25}$. Аналогично, $(3x - y - 2)^2 \ge 0$. Отсюда следует, что подкоренное выражение $(3x - y - 2)^2 + 25 \ge 25$. Тогда само слагаемое $\sqrt{(3x - y - 2)^2 + 25} \ge \sqrt{25} = 5$. Наименьшее значение, равное 5, достигается при условии $3x - y - 2 = 0$.

Сумма левой части уравнения не может быть меньше, чем сумма минимальных значений каждого слагаемого. Таким образом, $\sqrt{(x - 2y + 1)^2 + 1} + \sqrt{(3x - y - 2)^2 + 25} \ge 1 + 5 = 6$.

Из условия задачи известно, что сумма равна 6. Равенство возможно только в том случае, когда оба слагаемых одновременно принимают свои наименьшие значения. Это условие эквивалентно системе уравнений:

$\begin{cases} x - 2y + 1 = 0 \\ 3x - y - 2 = 0 \end{cases}$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3x - 2$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение:

$x - 2(3x - 2) + 1 = 0$

$x - 6x + 4 + 1 = 0$

$-5x + 5 = 0$

$5x = 5$

$x = 1$

Теперь найдем соответствующее значение $y$: $y = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1$.

Следовательно, решением уравнения является пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

б) Рассмотрим уравнение $\lg(1000 - 9x^2 - 4y^2 + 12xy) + \frac{1}{\pi} \arccos(((x + y - 5)^2 - 1)) = 4$.

Для решения этого уравнения также применим метод оценки, проанализировав каждое слагаемое.

Первое слагаемое: $\lg(1000 - 9x^2 - 4y^2 + 12xy)$. Преобразуем выражение в аргументе логарифма, выделив полный квадрат:

$1000 - 9x^2 - 4y^2 + 12xy = 1000 - (9x^2 - 12xy + 4y^2) = 1000 - (3x - 2y)^2$.

Поскольку $(3x - 2y)^2 \ge 0$, максимальное значение аргумента логарифма равно $1000$ и достигается при $3x - 2y = 0$. Соответственно, максимальное значение самого слагаемого равно $\lg(1000) = 3$. Таким образом, мы имеем оценку: $\lg(1000 - (3x - 2y)^2) \le 3$. Для существования логарифма также должно выполняться условие $1000 - (3x - 2y)^2 > 0$.

Второе слагаемое: $\frac{1}{\pi} \arccos(((x + y - 5)^2 - 1))$.

Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$. Следовательно, $0 \le \arccos(((x + y - 5)^2 - 1)) \le \pi$. Умножив неравенство на $\frac{1}{\pi}$, получим оценку для второго слагаемого: $0 \le \frac{1}{\pi} \arccos(((x + y - 5)^2 - 1)) \le 1$.

Максимальное значение, равное 1, достигается, когда $\arccos(\dots) = \pi$, что в свою очередь означает, что аргумент арккосинуса равен -1. То есть, $((x + y - 5)^2 - 1) = -1$.

Сумма левой части уравнения не может превышать сумму максимальных значений каждого слагаемого: $\lg(1000 - (3x - 2y)^2) + \frac{1}{\pi} \arccos(((x + y - 5)^2 - 1)) \le 3 + 1 = 4$.

Поскольку по условию сумма равна 4, равенство возможно только тогда, когда оба слагаемых одновременно достигают своих максимальных значений. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \lg(1000 - (3x - 2y)^2) = 3 \\ \frac{1}{\pi} \arccos(((x + y - 5)^2 - 1)) = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения следует: $1000 - (3x - 2y)^2 = 10^3 = 1000$, что приводит к $(3x - 2y)^2 = 0$, и, следовательно, $3x - 2y = 0$.

Из второго уравнения следует: $\arccos(((x + y - 5)^2 - 1)) = \pi$, что приводит к $(x + y - 5)^2 - 1 = -1$, откуда $(x + y - 5)^2 = 0$, и, следовательно, $x + y - 5 = 0$.

Получаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 0 \\ x + y = 5 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y = 5 - x$ и подставим в первое:

$3x - 2(5 - x) = 0$

$3x - 10 + 2x = 0$

$5x = 10$

$x = 2$

Тогда $y = 5 - 2 = 3$.

Решением уравнения является пара чисел $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$.