Номер 32.29, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.29, страница 206.

32.29. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

а) $\begin{cases} x + y \ge 3 \\ 2x - 3y \le 1 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - 2y \ge 3 \\ x + 3y \le -2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y \ge 1 \\ x + y \le 1 \\ x \le 2y \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y \ge 2x \\ x + y \le 3y \\ 5x \le 2y - 7 \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x + y \ge 3 \\ 2x - 3y \le 1 \end{cases} $

1. Первое неравенство: $x + y \ge 3$.
Выразим $y$: $y \ge 3 - x$.
Это множество точек, лежащих на прямой $y = 3 - x$ и выше нее. Построим эту прямую по двум точкам:
- если $x=0$, то $y=3$. Точка $(0, 3)$.
- если $x=3$, то $y=0$. Точка $(3, 0)$.

2. Второе неравенство: $2x - 3y \le 1$.
Выразим $y$: $-3y \le 1 - 2x$. При делении на -3 знак неравенства меняется: $y \ge \frac{2x - 1}{3}$.
Это множество точек, лежащих на прямой $y = \frac{2x - 1}{3}$ и выше нее. Построим эту прямую по двум точкам:
- если $x=2$, то $y = \frac{2(2) - 1}{3} = 1$. Точка $(2, 1)$.
- если $x=-1$, то $y = \frac{2(-1) - 1}{3} = -1$. Точка $(-1, -1)$.

3. Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это область, расположенная одновременно выше обеих прямых. Геометрически это угол.
Найдем вершину этого угла, решив систему уравнений, соответствующих граничным прямым:
$ \begin{cases} y = 3 - x \\ y = \frac{2x - 1}{3} \end{cases} $
$3 - x = \frac{2x - 1}{3}$
$9 - 3x = 2x - 1$
$10 = 5x$
$x = 2$
Подставим $x=2$ в первое уравнение: $y = 3 - 2 = 1$.
Вершина угла находится в точке $(2, 1)$.

Ответ: Множество точек представляет собой неограниченную выпуклую область (угол), ограниченную лучами, выходящими из точки $(2, 1)$ и лежащими на прямых $y = 3 - x$ и $y = \frac{2x - 1}{3}$.

б)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x - y \ge 1 \\ x + y \le 1 \\ x \le 2y \end{cases} $

1. Первое неравенство: $x - y \ge 1 \implies y \le x - 1$.
Граничная прямая $y = x - 1$. Решением является полуплоскость ниже этой прямой, включая саму прямую. Точки для построения: $(1, 0)$ и $(0, -1)$.

2. Второе неравенство: $x + y \le 1 \implies y \le 1 - x$.
Граничная прямая $y = 1 - x$. Решением является полуплоскость ниже этой прямой, включая саму прямую. Точки для построения: $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

3. Третье неравенство: $x \le 2y \implies y \ge \frac{1}{2}x$.
Граничная прямая $y = \frac{1}{2}x$. Решением является полуплоскость выше этой прямой, включая саму прямую. Точки для построения: $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

4. Решением системы является пересечение трех указанных полуплоскостей. Это будет треугольник, ограниченный тремя прямыми. Найдем его вершины как точки пересечения этих прямых.
- Вершина 1 (пересечение $y=x-1$ и $y=1-x$):
$x - 1 = 1 - x \implies 2x = 2 \implies x = 1$. Тогда $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
- Вершина 2 (пересечение $y=1-x$ и $y=\frac{1}{2}x$):
$1 - x = \frac{1}{2}x \implies 1 = \frac{3}{2}x \implies x = \frac{2}{3}$. Тогда $y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Точка $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$.
- Вершина 3 (пересечение $y=x-1$ и $y=\frac{1}{2}x$):
$x - 1 = \frac{1}{2}x \implies \frac{1}{2}x = 1 \implies x = 2$. Тогда $y = 2 - 1 = 1$. Точка $(2, 1)$.

Ответ: Множество точек представляет собой треугольник (включая его границы) с вершинами в точках $(1, 0)$, $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ и $(2, 1)$.

в)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x - 2y \ge 3 \\ x + 3y \le -2 \end{cases} $

1. Первое неравенство: $x - 2y \ge 3$.
Выразим $y$: $-2y \ge 3 - x \implies y \le \frac{x-3}{2}$.
Это множество точек, лежащих на прямой $y = \frac{x-3}{2}$ и ниже нее. Точки для построения: $(3, 0)$ и $(1, -1)$.

2. Второе неравенство: $x + 3y \le -2$.
Выразим $y$: $3y \le -x - 2 \implies y \le \frac{-x-2}{3}$.
Это множество точек, лежащих на прямой $y = \frac{-x-2}{3}$ и ниже нее. Точки для построения: $(-2, 0)$ и $(1, -1)$.

3. Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это область, расположенная одновременно ниже обеих прямых, то есть угол.
Найдем вершину этого угла в точке пересечения прямых:
$ \begin{cases} y = \frac{x-3}{2} \\ y = \frac{-x-2}{3} \end{cases} $
$\frac{x-3}{2} = \frac{-x-2}{3}$
$3(x-3) = 2(-x-2)$
$3x - 9 = -2x - 4$
$5x = 5$
$x = 1$
Подставим $x=1$ в первое уравнение: $y = \frac{1-3}{2} = -1$.
Вершина угла находится в точке $(1, -1)$.

Ответ: Множество точек представляет собой неограниченную выпуклую область (угол), ограниченную лучами, выходящими из точки $(1, -1)$ и лежащими на прямых $y = \frac{x-3}{2}$ и $y = \frac{-x-2}{3}$.

г)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x - y \ge 2x \\ x + y \le 3y \\ 5x \le 2y - 7 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, выразив $y$:
1. $x - y \ge 2x \implies -y \ge x \implies y \le -x$.
Решение — полуплоскость ниже прямой $y=-x$ (включая прямую).
2. $x + y \le 3y \implies x \le 2y \implies y \ge \frac{1}{2}x$.
Решение — полуплоскость выше прямой $y=\frac{1}{2}x$ (включая прямую).
3. $5x \le 2y - 7 \implies 5x + 7 \le 2y \implies y \ge \frac{5x+7}{2}$.
Решение — полуплоскость выше прямой $y=\frac{5x+7}{2}$ (включая прямую).

Решением системы является пересечение этих трех полуплоскостей. Точки множества должны лежать ниже прямой $y=-x$ и одновременно выше обеих прямых $y=\frac{1}{2}x$ и $y=\frac{5x+7}{2}$.
Найдем вершины, образованные пересечением граничных прямых:
- Вершина A (пересечение $y=-x$ и $y=\frac{5x+7}{2}$):
$-x = \frac{5x+7}{2} \implies -2x = 5x+7 \implies -7 = 7x \implies x=-1$. Тогда $y = -(-1) = 1$.
Точка $A(-1, 1)$. Проверим для нее третье неравенство: $1 \ge \frac{1}{2}(-1) \implies 1 \ge -0.5$ (верно).
- Вершина B (пересечение $y=\frac{1}{2}x$ и $y=\frac{5x+7}{2}$):
$\frac{1}{2}x = \frac{5x+7}{2} \implies x = 5x+7 \implies -4x = 7 \implies x = -\frac{7}{4}$.
Тогда $y = \frac{1}{2} (-\frac{7}{4}) = -\frac{7}{8}$.
Точка $B(-\frac{7}{4}, -\frac{7}{8})$. Проверим для нее первое неравенство: $-\frac{7}{8} \le -(-\frac{7}{4}) \implies -\frac{7}{8} \le \frac{14}{8}$ (верно).

Искомое множество — это неограниченная выпуклая область, граница которой состоит из отрезка прямой $y=\frac{5x+7}{2}$ между точками $A$ и $B$, луча прямой $y=-x$, исходящего из точки $A$ влево, и луча прямой $y=\frac{1}{2}x$, исходящего из точки $B$ влево.

Ответ: Множество точек — это неограниченная выпуклая область с двумя вершинами $A(-1, 1)$ и $B(-\frac{7}{4}, -\frac{7}{8})$. Граница области состоит из отрезка $AB$ на прямой $y=\frac{5x+7}{2}$, луча на прямой $y=-x$ с началом в точке $A$ (при $x \le -1$), и луча на прямой $y=\frac{1}{2}x$ с началом в точке $B$ (при $x \le -\frac{7}{4}$).