Номер 32.20, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.20, страница 205.

32.20. a) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16;$

б) $(x - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16;$

в) $(|x| - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16;$

г) $(|x| - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16.$

а) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Это уравнение является стандартным уравнением окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Сравнивая данное уравнение с общим видом, находим:

• Координаты центра: $x_0 = 1$, $y_0 = 2$. Таким образом, центр окружности находится в точке $(1, 2)$.
• Квадрат радиуса: $R^2 = 16$. Следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Таким образом, данное уравнение задаёт окружность с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом 4.

Ответ: Окружность с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $4$.

б) $(x - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16$

Это уравнение получено из уравнения окружности в пункте а) путём замены $y$ на $|y|$. Так как $|-y| = |y|$, график данного уравнения симметричен относительно оси абсцисс (оси Ox).

Для построения графика рассмотрим сначала случай, когда $y \ge 0$. В этом случае $|y| = y$, и уравнение принимает вид:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$.

Это часть окружности из пункта а), которая лежит в верхней полуплоскости (где $y \ge 0$).

Полный график уравнения $(x - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16$ получается, если взять эту часть графика (для $y \ge 0$) и симметрично отразить её относительно оси Ox.

Отражённая часть является дугой окружности, которая задаётся уравнением $(x-1)^2 + (-y-2)^2 = 16$, то есть $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 16$. Это окружность с центром в $(1, -2)$ и радиусом $4$.

Итоговый график представляет собой объединение двух дуг окружностей:

1. Часть окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$, для которой $y \ge 0$.
2. Часть окружности $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$, для которой $y \le 0$.

Ответ: Фигура, состоящая из части окружности с центром в $(1, 2)$ и радиусом $4$, расположенной в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), и её симметричного отражения относительно оси Ox.

в) $(|x| - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Это уравнение получено из уравнения окружности в пункте а) путём замены $x$ на $|x|$. Так как $|-x| = |x|$, график данного уравнения симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Для построения графика рассмотрим сначала случай, когда $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и уравнение принимает вид:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$.

Это часть окружности из пункта а), которая лежит в правой полуплоскости (где $x \ge 0$).

Полный график уравнения $(|x| - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ получается, если взять эту часть графика (для $x \ge 0$) и симметрично отразить её относительно оси Oy.

Отражённая часть является дугой окружности, которая задаётся уравнением $(-x-1)^2 + (y-2)^2 = 16$, то есть $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 16$. Это окружность с центром в $(-1, 2)$ и радиусом $4$.

Итоговый график представляет собой объединение двух дуг окружностей:

1. Часть окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$, для которой $x \ge 0$.
2. Часть окружности $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$, для которой $x \le 0$.

Ответ: Фигура, состоящая из части окружности с центром в $(1, 2)$ и радиусом $4$, расположенной в правой полуплоскости ($x \ge 0$), и её симметричного отражения относительно оси Oy.

г) $(|x| - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16$

В этом уравнении переменные $x$ и $y$ находятся под знаком модуля. Это означает, что график симметричен как относительно оси Ox, так и относительно оси Oy (а значит, и относительно начала координат).

Для построения графика рассмотрим сначала случай, когда $x \ge 0$ и $y \ge 0$ (первая координатная четверть). В этом случае $|x| = x$ и $|y| = y$, и уравнение принимает вид:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$.

Это часть окружности из пункта а), которая лежит в первой координатной четверти.

Полный график получается, если взять эту часть и последовательно отразить её относительно оси Oy, затем обе части отразить относительно оси Ox. В результате мы получим объединение четырёх дуг окружностей:

• В первой четверти ($x \ge 0, y \ge 0$): дуга окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$.
• Во второй четверти ($x \le 0, y \ge 0$): дуга окружности $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$.
• В третьей четверти ($x \le 0, y \le 0$): дуга окружности $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$.
• В четвёртой четверти ($x \ge 0, y \le 0$): дуга окружности $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$.

Все четыре дуги принадлежат окружностям с радиусом $4$ и центрами в точках $(1, 2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$ и $(1, -2)$ соответственно.

Ответ: Фигура, состоящая из части окружности с центром в $(1, 2)$ и радиусом $4$, расположенной в первой координатной четверти, и её симметричных отражений относительно осей Ox, Oy и начала координат.