Номер 32.9, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.9, страница 203.

32.9. a) $|x| + |y| = x + y;$

б) $|x| + |y| = y - x;$

B) $|x| + |y| = x - y;$

Г) $|x| + |y| = -x - y.$

Для решения данных уравнений необходимо раскрыть модули. Так как под модулем стоят переменные $x$ и $y$, мы должны рассмотреть четыре случая, соответствующие знакам $x$ и $y$ в каждой из четырех координатных четвертей.

а) $|x| + |y| = x + y$

Проанализируем уравнение в каждой координатной четверти:

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$ и $|y| = y$. Уравнение принимает вид:
$x + y = x + y$
Это тождество, которое верно для любых значений $x$ и $y$ из рассматриваемой области. Таким образом, все точки $(x, y)$, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$, являются решением.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$.
В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = y$. Уравнение принимает вид:
$-x + y = x + y$
$-x = x$
$2x = 0$, откуда $x = 0$. Это значение находится на границе с первой четвертью и уже учтено в первом случае. Новых решений в этой области нет (кроме границы).

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$.
В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Уравнение принимает вид:
$-x - y = x + y$
$2x + 2y = 0$
$y = -x$
Однако в третьей четверти $x$ и $y$ должны быть одного знака (оба отрицательные). Условие $y = -x$ означает, что они имеют разные знаки (если $x<0$, то $y>0$), что противоречит условию $y < 0$. Следовательно, в этой области нет решений.

4. Четвертая четверть: $x \ge 0, y < 0$.
В этом случае $|x| = x$ и $|y| = -y$. Уравнение принимает вид:
$x - y = x + y$
$-y = y$
$2y = 0$, откуда $y = 0$. Это значение находится на границе с первой четвертью и уже учтено. Новых решений в этой области нет.

Объединив результаты, мы видим, что равенство выполняется только для точек первой координатной четверти, включая ее границы (положительные полуоси координат).

Ответ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

б) $|x| + |y| = y - x$

Проанализируем уравнение в каждой координатной четверти:

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$.
$x + y = y - x$
$2x = 0$, откуда $x = 0$. Решением является неотрицательная часть оси $y$, то есть все точки $(0, y)$ при $y \ge 0$.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$.
$-x + y = y - x$
Это тождество, верное для всех $x < 0$ и $y \ge 0$. Таким образом, вся вторая координатная четверть, включая ее границы (отрицательная полуось $x$ и неотрицательная полуось $y$), является решением.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$.
$-x - y = y - x$
$-y = y$, откуда $y = 0$. Это противоречит условию $y < 0$. Решений в этой области нет.

4. Четвертая четверть: $x \ge 0, y < 0$.
$x - y = y - x$
$2x = 2y$, или $x = y$. Но в этой четверти $x \ge 0$ и $y < 0$, поэтому равенство $x=y$ возможно только при $x=y=0$. Эта точка уже учтена в первом случае.

Объединяя решения из первого и второго случаев, получаем все точки $(x, y)$, для которых $x \le 0$ и $y \ge 0$.

Ответ: $x \le 0$ и $y \ge 0$.

в) $|x| + |y| = x - y$

Проанализируем уравнение в каждой координатной четверти:

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$.
$x + y = x - y$
$2y = 0$, откуда $y = 0$. Решением является неотрицательная часть оси $x$, то есть все точки $(x, 0)$ при $x \ge 0$.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$.
$-x + y = x - y$
$2y = 2x$, или $y = x$. Но в этой четверти $x < 0$ и $y \ge 0$, поэтому равенство возможно только при $x=y=0$. Эта точка уже учтена.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$.
$-x - y = x - y$
$-x = x$, откуда $x=0$. Это противоречит условию $x < 0$. Решений в этой области нет.

4. Четвертая четверть: $x \ge 0, y < 0$.
$x - y = x - y$
Это тождество, верное для всех $x \ge 0$ и $y < 0$. Таким образом, вся четвертая координатная четверть, включая ее границы (неотрицательная полуось $x$ и отрицательная полуось $y$), является решением.

Объединяя решения из первого и четвертого случаев, получаем все точки $(x, y)$, для которых $x \ge 0$ и $y \le 0$.

Ответ: $x \ge 0$ и $y \le 0$.

г) $|x| + |y| = -x - y$

Проанализируем уравнение в каждой координатной четверти:

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$.
$x + y = -x - y$
$2x + 2y = 0$, или $x+y=0$. Так как $x$ и $y$ неотрицательны, это равенство возможно только если $x = 0$ и $y = 0$.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$.
$-x + y = -x - y$
$y = -y$, откуда $y = 0$. Решением является отрицательная часть оси $x$, то есть все точки $(x, 0)$ при $x < 0$.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$.
$-x - y = -x - y$
Это тождество, верное для всех $x < 0$ и $y < 0$. Таким образом, вся третья координатная четверть является решением.

4. Четвертая четверть: $x \ge 0, y < 0$.
$x - y = -x - y$
$x = -x$, откуда $x = 0$. Решением является отрицательная часть оси $y$, то есть все точки $(0, y)$ при $y < 0$.

Объединяя решения из всех четырех случаев ($x=0, y=0$; $x<0, y=0$; $x<0, y<0$; $x=0, y<0$), получаем все точки $(x, y)$, для которых $x \le 0$ и $y \le 0$.

Ответ: $x \le 0$ и $y \le 0$.