Номер 33.6, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.6, страница 210.

33.6. Применяя графический метод, определите, сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} y = x^2, \\ y = \cos x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 2 - x^2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = \sin x, \\ y = 0,1x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y + 2 = \sqrt{x + 4}, \\ y + x^3 = 0. \end{cases}$

а)

Для определения количества решений системы уравнений $ \begin{cases} y = x^2 \\ y = \cos x \end{cases} $ построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = \cos x$. Количество точек пересечения графиков будет равно количеству решений системы.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Функция является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.

График функции $y = \cos x$ — это косинусоида, периодическая функция, значения которой лежат в отрезке $[-1, 1]$. Эта функция также является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.

Рассмотрим поведение графиков для $x \ge 0$. При $x=0$ значение параболы $y=0^2=0$, а значение косинусоиды $y=\cos(0)=1$. При $x > \sqrt{\pi/2} \approx 1.25$ значение $x^2 > \pi/2$, а $\cos x \le 1$. При $x > 1$ значение $x^2 > 1$, в то время как $\cos x \le 1$. Таким образом, все возможные точки пересечения для $x>0$ должны находиться в интервале $(0, 1]$. Функция $y=x^2$ возрастает на $(0, \infty)$, а функция $y=\cos x$ убывает на $(0, \pi)$. Так как при $x \to 0$ имеем $x^2 < \cos x$, а, например, при $x=1$ имеем $1^2 > \cos(1)$ (поскольку $1$ радиан это примерно $57.3^\circ$ и $\cos(1) \approx 0.54$), то на интервале $(0, 1)$ графики пересекутся ровно один раз.

Поскольку обе функции ($y=x^2$ и $y=\cos x$) являются чётными, их графики симметричны относительно оси Oy. Это означает, что если есть точка пересечения с абсциссой $x_0 > 0$, то обязательно есть и симметричная ей точка пересечения с абсциссой $-x_0$. Таким образом, имеется одна точка пересечения в правой полуплоскости и одна симметричная ей в левой полуплоскости. Всего 2 точки пересечения.

Ответ: 2

б)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = 2 - x^2 \end{cases} $. Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков этих двух уравнений.

Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Уравнение $y = 2 - x^2$ задает параболу, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке (0, 2).

Построим графики. Вершина параболы (0, 2) является также самой верхней точкой окружности, следовательно, это одна из точек пересечения. Чтобы найти другие точки пересечения, можно подставить выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $x^2 + (2 - x^2)^2 = 4$
$x^2 + 4 - 4x^2 + x^4 = 4$
$x^4 - 3x^2 = 0$
$x^2(x^2 - 3) = 0$
Отсюда получаем два случая:
1) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$. Тогда $y = 2 - 0^2 = 2$. Точка (0, 2).
2) $x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.
Если $x = \sqrt{3}$, то $y = 2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$. Точка $(\sqrt{3}, -1)$.
Если $x = -\sqrt{3}$, то $y = 2 - (-\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$. Точка $(-\sqrt{3}, -1)$.

Таким образом, графики пересекаются в трех точках: (0, 2), $(\sqrt{3}, -1)$ и $(-\sqrt{3}, -1)$.

Ответ: 3

в)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y = \sin x \\ y = 0,1x \end{cases} $. Число решений системы равно числу точек пересечения синусоиды $y = \sin x$ и прямой $y = 0.1x$.

График $y = \sin x$ — синусоида, значения которой находятся в пределах от -1 до 1. График $y = 0.1x$ — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом 0.1.

Очевидно, что $x=0, y=0$ является решением, так как точка (0, 0) принадлежит обоим графикам. Обе функции, $y = \sin x$ и $y = 0.1x$, являются нечётными, поэтому их графики симметричны относительно начала координат. Это значит, что количество положительных решений равно количеству отрицательных решений.

Рассмотрим $x > 0$. Пересечения возможны только тогда, когда значения прямой $y = 0.1x$ находятся в диапазоне значений синуса, т.е. $|0.1x| \le 1$, что равносильно $|x| \le 10$. В точке $x=0$ производная $(\sin x)' = \cos x$ равна 1, а производная $(0.1x)'$ равна 0.1. Так как $1 > 0.1$, то при малых $x>0$ график синуса лежит выше прямой.

• На отрезке $[0, \pi] \approx [0, 3.14]$: $\sin x \ge 0$. Прямая $y=0.1x$ возрастает от 0 до $0.1\pi \approx 0.314$. Так как $\sin x$ начинается выше прямой (кроме $x=0$), а в точке $x=\pi$ значение $\sin \pi = 0$, а $0.1\pi > 0$, то на интервале $(0, \pi)$ есть одна точка пересечения.
• На отрезке $[\pi, 2\pi] \approx [3.14, 6.28]$: $\sin x \le 0$, а $y=0.1x > 0$. Пересечений нет.
• На отрезке $[2\pi, 3\pi] \approx [6.28, 9.42]$: $\sin x \ge 0$. Прямая $y=0.1x$ возрастает от $0.2\pi \approx 0.628$ до $0.3\pi \approx 0.942$. Максимум синуса на этом отрезке равен 1 (при $x=5\pi/2 \approx 7.85$). В этой точке $y=0.1x \approx 0.785 < 1$. Так как в точках $x=2\pi$ и $x=3\pi$ значение синуса (0) меньше значения прямой, а в точке $x=5\pi/2$ значение синуса (1) больше значения прямой, то на этом интервале есть две точки пересечения.
• При $x \ge 3\pi \approx 9.42$: Максимум следующего положительного полупериода синуса (на $[4\pi, 5\pi]$) будет равен 1, но прямая $y=0.1x$ будет уже больше 1 (так как $0.1 \cdot 4\pi \approx 1.25 > 1$). Следовательно, других пересечений при $x>0$ нет.

Итак, для $x > 0$ имеется $1+2=3$ решения. В силу симметрии, для $x < 0$ также имеется 3 решения. Вместе с решением $x=0$, общее количество решений составляет $3 + 3 + 1 = 7$.

Ответ: 7

г)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y + 2 = \sqrt{x+4} \\ y + x^3 = 0 \end{cases} $. Преобразуем уравнения к виду $y=f(x)$: $ \begin{cases} y = \sqrt{x+4} - 2 \\ y = -x^3 \end{cases} $ Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

График функции $y = \sqrt{x+4} - 2$ — это график функции $y=\sqrt{x}$, смещенный на 4 единицы влево и на 2 единицы вниз. Область определения функции: $x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$. График начинается в точке $(-4, -2)$ и является возрастающей вогнутой кривой.

График функции $y = -x^3$ — это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и убывающая на всей числовой оси.

Проверим, пересекаются ли графики в начале координат. При $x=0$: $y = \sqrt{0+4} - 2 = 2 - 2 = 0$. $y = -0^3 = 0$. Оба графика проходят через точку (0, 0), значит, это одно из решений.

Для поиска других решений рассмотрим функцию $f(x) = (\sqrt{x+4} - 2) - (-x^3) = \sqrt{x+4} - 2 + x^3$. Корни этой функции соответствуют точкам пересечения. Найдем производную: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+4}} + 3x^2$. Производная определена при $x > -4$. На всей области определения $(-4, \infty)$ оба слагаемых в выражении для производной неотрицательны. Первое слагаемое $\frac{1}{2\sqrt{x+4}}$ всегда строго положительно. Второе слагаемое $3x^2 \ge 0$. Таким образом, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение 0) не более одного раза. Поскольку мы уже нашли, что $f(0)=0$, это и есть единственное решение.

Ответ: 1