Номер 33.20, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.20, страница 211.

33.20. a) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5, \\ xy = 216; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 1, \\ \sqrt{xy} = 4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5, \\ xy = 216 \end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[3]{x}$ и $v = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = u^3$ и $y = v^3$.

Подставим эти выражения в систему, она примет вид:

$\begin{cases} u + v = 5, \\ u^3 v^3 = 216 \end{cases}$

Упростим второе уравнение:

$(uv)^3 = 216$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем:

$uv = \sqrt[3]{216}$

$uv = 6$

Теперь у нас есть новая, более простая система для $u$ и $v$:

$\begin{cases} u + v = 5, \\ uv = 6 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (u+v)t + uv = 0$, то есть $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решим это уравнение. Можно разложить на множители: $(t-2)(t-3) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Это дает нам два возможных набора значений для $u$ и $v$:

1) $u = 2, v = 3$

2) $u = 3, v = 2$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Случай 1: $u = 2, v = 3$.

$x = u^3 = 2^3 = 8$

$y = v^3 = 3^3 = 27$

Получаем решение $(8, 27)$.

Случай 2: $u = 3, v = 2$.

$x = u^3 = 3^3 = 27$

$y = v^3 = 2^3 = 8$

Получаем решение $(27, 8)$.

Оба решения удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(8, 27), (27, 8)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} = 1, \\ \sqrt{xy} = 4 \end{cases}$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку мы имеем дело с корнями четной степени, должно выполняться $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Из второго уравнения, возведя обе части в квадрат, получаем:

$xy = 4^2 = 16$

Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$. Учитывая ОДЗ, $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Тогда $x = u^4$ и $y = v^4$.

Подставим эти выражения в систему:

$\begin{cases} u - v = 1, \\ \sqrt{u^4 v^4} = 4 \end{cases}$

Упростим второе уравнение:

$\sqrt{(uv)^4} = 4$

$(uv)^2 = 16$

Так как $u \ge 0$ и $v \ge 0$, то $uv \ge 0$. Поэтому, извлекая квадратный корень, получаем:

$uv = 4$

Ой, извините, ошибка в рассуждениях. Давайте вернемся к уравнению $xy=16$.

$u^4 v^4 = 16 \implies (uv)^4 = 16$.

Так как $u \ge 0$ и $v \ge 0$, то $uv \ge 0$. Извлекая корень четвертой степени, получаем:

$uv = \sqrt[4]{16} = 2$.

Теперь решаем систему для $u$ и $v$:

$\begin{cases} u - v = 1, \\ uv = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $u$: $u = v + 1$.

Подставим это во второе уравнение:

$(v + 1)v = 2$

$v^2 + v - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители: $(v+2)(v-1)=0$.

Корни: $v_1 = -2$ и $v_2 = 1$.

Поскольку мы определили, что $v = \sqrt[4]{y} \ge 0$, корень $v = -2$ является посторонним.

Следовательно, единственное подходящее значение $v = 1$.

Теперь найдем $u$:

$u = v + 1 = 1 + 1 = 2$.

Значение $u=2$ удовлетворяет условию $u \ge 0$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$x = u^4 = 2^4 = 16$

$y = v^4 = 1^4 = 1$

Проверим найденное решение $(16, 1)$ в исходной системе:

$\sqrt[4]{16} - \sqrt[4]{1} = 2 - 1 = 1$ (верно)

$\sqrt{16 \cdot 1} = \sqrt{16} = 4$ (верно)

Ответ: $(16, 1)$.