Номер 33.26, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.26, страница 213.

Решите систему уравнений:

33.26. a) $\begin{cases} 2x + 3y = 12, \\ \log_6^2 xy + 1 = 2 \log_6 xy; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2^{y+1} = 5, \\ 2^y + \log_2 x = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3\sqrt[3]{x} + y = \log_2 16x^2, \\ \log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x} + y = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3^{x-y} - 7|2y - x| = 2, \\ |2y - x| - 3^{x-y-1} = -2. \end{cases}$

a)

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ \log_6^2 xy + 1 = 2 \log_6 xy \end{cases} $$ Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Для существования логарифма необходимо, чтобы его аргумент был положителен: $xy > 0$. Это означает, что $x$ и $y$ должны быть одного знака (оба положительны или оба отрицательны). Из первого уравнения $2x + 3y = 12$. Если предположить, что $x < 0$ и $y < 0$, то $2x < 0$ и $3y < 0$, и их сумма $2x + 3y$ также будет отрицательной, что противоречит равенству 12. Следовательно, $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим второе уравнение. Сделаем замену $t = \log_6 xy$. Уравнение примет вид: $t^2 + 1 = 2t$ $t^2 - 2t + 1 = 0$ $(t - 1)^2 = 0$ Отсюда $t = 1$.

Возвращаемся к исходной переменной: $\log_6 xy = 1$ $xy = 6^1$ $xy = 6$

Теперь система уравнений стала проще: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ xy = 6 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y = \frac{6}{x}$ (мы знаем, что $x \ne 0$) и подставим в первое: $2x + 3 \left( \frac{6}{x} \right) = 12$ $2x + \frac{18}{x} = 12$ Умножим обе части на $x$: $2x^2 + 18 = 12x$ $2x^2 - 12x + 18 = 0$ Разделим на 2: $x^2 - 6x + 9 = 0$ $(x - 3)^2 = 0$ $x = 3$.

Теперь найдем $y$: $y = \frac{6}{x} = \frac{6}{3} = 2$. Полученное решение $(3, 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: $(3, 2)$.

б)

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} 3 \log_{1/2} x + 2^{y+1} = 5 \\ 2^y + \log_2 x = 5 \end{cases} $$ ОДЗ: $x > 0$. Упростим первое уравнение, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$: $\log_{1/2} x = \log_{2^{-1}} x = -1 \cdot \log_2 x = -\log_2 x$. Также $2^{y+1} = 2 \cdot 2^y$. Первое уравнение принимает вид: $-3 \log_2 x + 2 \cdot 2^y = 5$.

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \log_2 x$ и $b = 2^y$. Так как $y$ может быть любым действительным числом, $b > 0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} -3a + 2b = 5 \\ a + b = 5 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $a = 5 - b$ и подставим в первое: $-3(5 - b) + 2b = 5$ $-15 + 3b + 2b = 5$ $5b = 20$ $b = 4$.

Теперь найдем $a$: $a = 5 - b = 5 - 4 = 1$. Возвращаемся к исходным переменным: $\log_2 x = a \implies \log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$. $2^y = b \implies 2^y = 4 \implies 2^y = 2^2 \implies y = 2$. Решение $(2, 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $(2, 2)$.

в)

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} 3\sqrt[3]{x} + y = \log_2 16x^2 \\ \log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x} + y = 6 \end{cases} $$ ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть положителен: $x^2 > 0$, что означает $x \ne 0$. Упростим логарифмическое выражение в первом уравнении, используя свойства логарифма: $\log_2 16x^2 = \log_2 16 + \log_2 x^2 = 4 + \log_2 x^2$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} 3\sqrt[3]{x} + y = 4 + \log_2 x^2 \\ \log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x} + y = 6 \end{cases} $$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго: $(\log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x} + y) - (3\sqrt[3]{x} + y) = 6 - (4 + \log_2 x^2)$ $\log_2 x^2 - \sqrt[3]{x} = 2 - \log_2 x^2$ $2\log_2 x^2 - \sqrt[3]{x} = 2$ Используя свойство $\log_a b^c = c \log_a |b|$, получаем: $2 \cdot (2 \log_2|x|) - \sqrt[3]{x} = 2$ $4\log_2|x| - \sqrt[3]{x} = 2$

Мы получили трансцендентное уравнение для нахождения $x$. Такое уравнение не имеет простых целых или рациональных решений, и его корни могут быть найдены только с помощью численных методов. Тем не менее, мы можем выразить $y$ через $x$. Из второго уравнения исходной системы: $y = 6 - 2\sqrt[3]{x} - \log_2 x^2$. Из полученного нами уравнения $2\log_2 x^2 - \sqrt[3]{x} = 2$ выразим $\log_2 x^2 = 1 + \frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$. Подставим это выражение для $\log_2 x^2$ в формулу для $y$: $y = 6 - 2\sqrt[3]{x} - \left(1 + \frac{1}{2}\sqrt[3]{x}\right) = 5 - \frac{5}{2}\sqrt[3]{x}$.

Ответ: Решениями системы являются пары $(x, y)$, где $x$ является корнем уравнения $4\log_2|x| - \sqrt[3]{x} = 2$, а $y = 5 - \frac{5}{2}\sqrt[3]{x}$.

г)

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} 3^{x-y} - 7|2y-x| = 2 \\ |2y-x| - 3^{x-y-1} = -2 \end{cases} $$ Сделаем замену переменных. Пусть $a = 3^{x-y}$ и $b = |2y-x|$. Заметим, что $a > 0$ и $b \ge 0$. Также преобразуем $3^{x-y-1} = 3^{x-y} \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} a$. Система в новых переменных: $$ \begin{cases} a - 7b = 2 \\ b - \frac{a}{3} = -2 \end{cases} $$

Решим эту линейную систему. Из второго уравнения выразим $b = \frac{a}{3} - 2$. Подставим в первое уравнение: $a - 7\left(\frac{a}{3} - 2\right) = 2$ $a - \frac{7a}{3} + 14 = 2$ Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби: $3a - 7a + 42 = 6$ $-4a = -36$ $a = 9$.

Найдем $b$: $b = \frac{a}{3} - 2 = \frac{9}{3} - 2 = 3 - 2 = 1$. Значения $a=9$ и $b=1$ удовлетворяют условиям $a>0, b \ge 0$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $a = 3^{x-y} = 9 \implies 3^{x-y} = 3^2 \implies x - y = 2$. $b = |2y-x| = 1$. Из первого полученного уравнения $x = y+2$. Подставим это во второе уравнение: $|2y - (y+2)| = 1$ $|y - 2| = 1$.

Это уравнение с модулем распадается на два случая: 1) $y - 2 = 1 \implies y = 3$. Тогда $x = y+2 = 3+2 = 5$. Получаем решение $(5, 3)$. 2) $y - 2 = -1 \implies y = 1$. Тогда $x = y+2 = 1+2 = 3$. Получаем решение $(3, 1)$. Оба решения являются верными.

Ответ: $(5, 3)$, $(3, 1)$.