Номер 33.31, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.31, страница 213.

33.31. a) $\begin{cases} \log_{13} (x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2, \\ \log_3 x - 1 = \log_3 2 - \log_3 y; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_7 (x + y) = 4 \log_7 (x - y), \\ \log_7 (x + y) = 5 \log_7 3 - \log_7 (x - y). \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_{13} (x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2, \\ \log_3 x - 1 = \log_3 2 - \log_3 y; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

$ \begin{cases} x^2 + y^2 > 0, \\ x > 0, \\ y > 0. \end{cases} $

Условие $x^2 + y^2 > 0$ выполняется автоматически при $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Упростим его правую часть, используя свойство логарифма $\log_a a^b = b$:

$0,5 \log_{\pi} \pi^2 = 0,5 \cdot 2 = 1$.

Тогда первое уравнение принимает вид:

$\log_{13} (x^2 + y^2) = 1$.

По определению логарифма, это означает:

$x^2 + y^2 = 13^1 = 13$.

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Сгруппируем слагаемые с логарифмами:

$\log_3 x + \log_3 y = \log_3 2 + 1$.

Представим $1$ как логарифм по основанию 3: $1 = \log_3 3$. Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, получим:

$\log_3 (xy) = \log_3 2 + \log_3 3$,

$\log_3 (xy) = \log_3 (2 \cdot 3)$,

$\log_3 (xy) = \log_3 6$.

Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$xy = 6$.

Таким образом, исходная система равносильна системе алгебраических уравнений с учетом ОДЗ:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = 6. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y = \frac{6}{x}$ и подставим в первое:

$x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 13$,

$x^2 + \frac{36}{x^2} = 13$.

Умножим обе части на $x^2$ (что допустимо, так как из ОДЗ $x \neq 0$):

$x^4 + 36 = 13x^2$,

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$. Так как по ОДЗ $x > 0$, то $t > 0$.

$t^2 - 13t + 36 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны и удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к переменной $x$:

1. Если $x^2 = 4$, то, учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем $x = 2$. Тогда $y = \frac{6}{x} = \frac{6}{2} = 3$. Пара $(2; 3)$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0, 3 > 0$).

2. Если $x^2 = 9$, то, учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем $x = 3$. Тогда $y = \frac{6}{x} = \frac{6}{3} = 2$. Пара $(3; 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0, 2 > 0$).

Ответ: $(2; 3), (3; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_7 (x + y) = 4 \log_7 (x - y), \\ \log_7 (x + y) = 5 \log_7 3 - \log_7 (x - y). \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x + y > 0, \\ x - y > 0. \end{cases} $

Для удобства решения введем замены: $A = \log_7 (x + y)$ и $B = \log_7 (x - y)$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} A = 4B, \\ A = 5 \log_7 3 - B. \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем их правые части:

$4B = 5 \log_7 3 - B$,

$5B = 5 \log_7 3$,

$B = \log_7 3$.

Теперь найдем $A$ из первого уравнения системы: $A = 4B$.

$A = 4 \log_7 3$.

Выполним обратную замену:

Из $B = \log_7 3$ следует, что $\log_7 (x - y) = \log_7 3$, откуда $x - y = 3$.

Из $A = 4 \log_7 3$ следует, что $\log_7 (x + y) = 4 \log_7 3$.

Используя свойство логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$, преобразуем правую часть:

$\log_7 (x + y) = \log_7 3^4$,

$\log_7 (x + y) = \log_7 81$, откуда $x + y = 81$.

Получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 3, \\ x + y = 81. \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(x - y) + (x + y) = 3 + 81$,

$2x = 84$,

$x = 42$.

Подставим значение $x$ во второе уравнение системы:

$42 + y = 81$,

$y = 81 - 42$,

$y = 39$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(42; 39)$ ОДЗ:

$x + y = 42 + 39 = 81 > 0$.

$x - y = 42 - 39 = 3 > 0$.

Оба условия выполнены, следовательно, решение верно.

Ответ: $(42; 39)$.