Номер 33.36, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.36, страница 214.

33.36. a) $\begin{cases} \sin x \sin y = 0.25, \\ x + y = \frac{\pi}{3}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 0.5. \end{cases}$

а)Дана система уравнений:$\begin{cases} \sin x \sin y = 0,25, \\ x + y = \frac{\pi}{3};\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = \frac{\pi}{3} - x$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$\sin x \sin(\frac{\pi}{3} - x) = 0,25$
Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:
$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$
В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{3} - x$. Тогда:
$\alpha - \beta = x - (\frac{\pi}{3} - x) = 2x - \frac{\pi}{3}$
$\alpha + \beta = x + (\frac{\pi}{3} - x) = \frac{\pi}{3}$
Подставляем в уравнение:
$\frac{1}{2}(\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{3})) = 0,25$
Зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $0,25 = \frac{1}{4}$, получаем:
$\frac{1}{2}(\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$
Умножим обе части на 2:
$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$
Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение имеет вид:
$2x - \frac{\pi}{3} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем соответствующее значение для $y$:
$y = \frac{\pi}{3} - x = \frac{\pi}{3} - (\frac{\pi}{6} + \pi n) = \frac{2\pi - \pi}{6} - \pi n = \frac{\pi}{6} - \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(x, y)$.
Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{6} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)Дана система уравнений:$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 0,5.\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$: $y = \frac{\pi}{4} - x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\sin^2 x + \cos^2(\frac{\pi}{4} - x) = 0,5$
Воспользуемся формулами понижения степени:
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$
Подставим их в уравнение:
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(2(\frac{\pi}{4} - x))}{2} = 0,5$
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2x)}{2} = \frac{1}{2}$
Умножим обе части на 2:
$1 - \cos(2x) + 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = 1$
Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$:
$2 - \cos(2x) + \sin(2x) = 1$
$\sin(2x) - \cos(2x) = -1$
Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла. Умножим и разделим на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2x)) = -1$
$\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})\sin(2x) - \sin(\frac{\pi}{4})\cos(2x)) = -1$
Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:
$\sqrt{2}\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -1$
$\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
Решения этого уравнения распадаются на две серии:
1) $2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$2x = 2\pi n$
$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Тогда $y = \frac{\pi}{4} - x = \frac{\pi}{4} - \pi n$.
Первая серия решений: $(\pi n, \frac{\pi}{4} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2x - \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$
$2x = \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{6\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Тогда $y = \frac{\pi}{4} - x = \frac{\pi}{4} - (\frac{3\pi}{4} + \pi n) = -\frac{2\pi}{4} - \pi n = -\frac{\pi}{2} - \pi n$.
Вторая серия решений: $(\frac{3\pi}{4} + \pi n, -\frac{\pi}{2} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\pi n, \frac{\pi}{4} - \pi n)$, $(\frac{3\pi}{4} + \pi n, -\frac{\pi}{2} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.