Номер 33.38, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.38, страница 214.

33.38. a) $\begin{cases} \sin x \sin y = -\frac{1}{2}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \cos y \cos x = -\frac{1}{4}, \\ \operatorname{tg} y = \operatorname{ctg} x. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sin x \sin y = -\frac{1}{2}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} y = 1. \end{cases} $$ Рассмотрим второе уравнение системы: $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} y = 1$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $y \neq \pi n$, $x \neq \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$. Из первого уравнения $\sin x \sin y = -1/2$ следует, что $\sin x \neq 0$ и $\sin y \neq 0$, так что часть ОДЗ уже выполнена.

Преобразуем второе уравнение. Если $\operatorname{ctg} y \neq 0$, то $\operatorname{tg} x = \frac{1}{\operatorname{ctg} y}$, что равносильно $\operatorname{tg} x = \operatorname{tg} y$. Это равенство выполняется, когда $x = y + \pi k$ для любого целого числа $k$. При этом условии, если $\cos y \neq 0$, то и $\cos x = \cos(y+\pi k) = (-1)^k \cos y \neq 0$. Таким образом, ОДЗ для тангенсов будет соблюдено.

Подставим $x = y + \pi k$ в первое уравнение системы: $$ \sin(y + \pi k) \sin y = -\frac{1}{2} $$ Используя формулу приведения $\sin(y + \pi k) = (-1)^k \sin y$, получаем: $$ (-1)^k \sin y \cdot \sin y = -\frac{1}{2} $$ $$ (-1)^k \sin^2 y = -\frac{1}{2} $$ Так как $\sin^2 y \ge 0$, это равенство возможно только если $(-1)^k = -1$, то есть $k$ — нечетное целое число. Пусть $k = 2n+1$ для $n \in \mathbb{Z}$.

Тогда уравнение принимает вид: $$ -\sin^2 y = -\frac{1}{2} $$ $$ \sin^2 y = \frac{1}{2} $$ Из этого следует, что $\sin y = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Проверим ОДЗ: $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - 1/2 = 1/2$, так что $\cos y \neq 0$. Общее решение для уравнения $\sin^2 y = 1/2$ можно найти, решив эквивалентное уравнение $\cos(2y) = 1 - 2\sin^2 y = 1 - 2(1/2) = 0$. Отсюда $2y = \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. $$ y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z} $$ Соответствующие значения $x$ находим из соотношения $x = y + \pi k$, где $k$ — нечетное число ($k=2n+1$): $$ x = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}\right) + (2n+1)\pi, \quad m, n \in \mathbb{Z} $$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} + (2n+1)\pi, y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, где $m, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \cos y \cos x = -\frac{1}{4}, \\ \operatorname{tg} y = \operatorname{ctg} x. \end{cases} $$ Рассмотрим второе уравнение: $\operatorname{tg} y = \operatorname{ctg} x$. ОДЗ: $\cos y \neq 0$, $\sin x \neq 0$. Из первого уравнения $\cos y \cos x = -1/4$ следует, что $\cos y \neq 0$ и $\cos x \neq 0$.

Используя формулу приведения $\operatorname{ctg} x = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} - x)$, перепишем второе уравнение: $$ \operatorname{tg} y = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) $$ Это равенство выполняется, когда $y = \frac{\pi}{2} - x + \pi k$ для любого целого числа $k$. Отсюда получаем соотношение: $x + y = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Теперь воспользуемся первым уравнением $\cos y \cos x = -1/4$. Применим формулу произведения косинусов: $$ \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y)) = -\frac{1}{4} $$ $$ \cos(x+y) + \cos(x-y) = -\frac{1}{2} $$ Подставим найденное выражение для $x+y$: $$ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) + \cos(x-y) = -\frac{1}{2} $$ Так как $\cos(\frac{\pi}{2} + \pi k) = 0$ для любого целого $k$, получаем: $$ \cos(x-y) = -\frac{1}{2} $$ Решения этого уравнения: $x-y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$ для любого целого $m$.

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений относительно $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ x-y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \end{cases} $$ где $k, m \in \mathbb{Z}$. Решим эту систему для двух случаев знака.

Случай 1: $x-y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$.
Складывая уравнения, получаем $2x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + (\frac{2\pi}{3} + 2\pi m) = \frac{7\pi}{6} + \pi(k+2m)$, откуда $x = \frac{7\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} + \pi m$.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = (\frac{\pi}{2} + \pi k) - (\frac{2\pi}{3} + 2\pi m) = -\frac{\pi}{6} + \pi(k-2m)$, откуда $y = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} - \pi m$.

Случай 2: $x-y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m$.
Складывая уравнения, получаем $2x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) - (\frac{2\pi}{3} - 2\pi m) = -\frac{\pi}{6} + \pi(k+2m)$, откуда $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} + \pi m$.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + (\frac{2\pi}{3} - 2\pi m) = \frac{7\pi}{6} + \pi(k-2m)$, откуда $y = \frac{7\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} - \pi m$.

Проверка ОДЗ $\sin x \neq 0$ показывает, что $x$ не может быть равно $p\pi$ для целого $p$, так как это приводит к неверному равенству (например, в первом случае $\frac{7}{12} + \frac{k}{2} + m = p \implies 7 = 6(2p - k - 2m)$, что невозможно, так как 7 не делится на 6).

Ответ: Пары $(x, y)$ являются решениями, где $k, m \in \mathbb{Z}$:
$\left(\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} + \pi m, -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} - \pi m\right)$ и $\left(-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} + \pi m, \frac{7\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} - \pi m\right)$.