Номер 33.44, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.44, страница 215.

33.44. Сумма трёх чисел равна 8, а сумма их квадратов — 26.
Найдите эти числа, если известно, что одно из них на 2 больше другого.

Обозначим три искомых числа как $x$, $y$ и $z$.

Из условий задачи известно, что сумма этих чисел равна 8, а сумма их квадратов равна 26. Также дано, что одно из чисел на 2 больше другого. Эти условия можно записать в виде системы уравнений. Допустим, что число $y$ на 2 больше числа $x$, то есть $y = x + 2$.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y + z = 8 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 26 \\ y = x + 2 \end{cases} $

Подставим третье уравнение в первое, чтобы выразить $z$ через $x$:

$x + (x + 2) + z = 8$

$2x + 2 + z = 8$

$z = 8 - 2 - 2x$

$z = 6 - 2x$

Теперь подставим выражения для $y$ и $z$ через $x$ во второе уравнение системы:

$x^2 + (x + 2)^2 + (6 - 2x)^2 = 26$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + (x^2 + 4x + 4) + (36 - 24x + 4x^2) = 26$

Приведём подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2 + 4x^2) + (4x - 24x) + (4 + 36) = 26$

$6x^2 - 20x + 40 = 26$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6x^2 - 20x + 40 - 26 = 0$

$6x^2 - 20x + 14 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$3x^2 - 10x + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 - 84 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 4}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Мы получили два возможных значения для $x$. Для каждого из них найдём соответствующие значения $y$ и $z$.

Случай 1: Если $x = 1$.

Тогда $y = x + 2 = 1 + 2 = 3$.

И $z = 6 - 2x = 6 - 2 \cdot 1 = 4$.

Получаем набор чисел: 1, 3, 4. Проверим: сумма $1 + 3 + 4 = 8$; сумма квадратов $1^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 9 + 16 = 26$. Условия выполнены.

Случай 2: Если $x = \frac{7}{3}$.

Тогда $y = x + 2 = \frac{7}{3} + 2 = \frac{7}{3} + \frac{6}{3} = \frac{13}{3}$.

И $z = 6 - 2x = 6 - 2 \cdot \frac{7}{3} = \frac{18}{3} - \frac{14}{3} = \frac{4}{3}$.

Получаем набор чисел: $\frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{13}{3}$. Проверим: сумма $\frac{4}{3} + \frac{7}{3} + \frac{13}{3} = \frac{24}{3} = 8$; сумма квадратов $(\frac{4}{3})^2 + (\frac{7}{3})^2 + (\frac{13}{3})^2 = \frac{16}{9} + \frac{49}{9} + \frac{169}{9} = \frac{234}{9} = 26$. Условия выполнены.

Таким образом, задача имеет два набора решений.

Ответ: искомые числа это 1, 3, 4 или $\frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{13}{3}$.