Номер 34.3, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.3, страница 216.

Решите уравнение (относительно x):

34.3. a) $a^2x - 4x + 2 = a$;

б) $\frac{x}{a} + x - 1 = a$.

а) $a^2x - 4x + 2 = a$

Это уравнение является линейным относительно переменной $x$ с параметром $a$. Для его решения сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, в левой части, а остальные перенесем в правую.

$a^2x - 4x = a - 2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения:

$x(a^2 - 4) = a - 2$

Дальнейшее решение зависит от значения коэффициента при $x$, то есть от выражения $a^2 - 4$. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Если коэффициент при $x$ не равен нулю: $a^2 - 4 \neq 0$.

Это условие выполняется, когда $(a - 2)(a + 2) \neq 0$, то есть при $a \neq 2$ и $a \neq -2$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $a^2 - 4$ и найти единственное решение:

$x = \frac{a - 2}{a^2 - 4}$

Разложим знаменатель на множители и сократим дробь:

$x = \frac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{1}{a + 2}$

2. Если коэффициент при $x$ равен нулю: $a^2 - 4 = 0$.

Это возможно при $a = 2$ или $a = -2$. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

• Пусть $a = 2$. Подставим это значение в уравнение $x(a^2 - 4) = a - 2$:

  $x(2^2 - 4) = 2 - 2$

  $x \cdot 0 = 0$

  Получено верное равенство $0 = 0$, которое не зависит от $x$. Это означает, что при $a = 2$ решением уравнения является любое действительное число.

• Пусть $a = -2$. Подставим это значение в уравнение:

  $x((-2)^2 - 4) = -2 - 2$

  $x \cdot 0 = -4$

  Получено неверное равенство $0 = -4$. Это означает, что при $a = -2$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = 2$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a = -2$, то решений нет; если $a \neq 2$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{1}{a + 2}$.

б) $\frac{x}{a} + x - 1 = a$

Данное уравнение содержит параметр $a$ в знаменателе, поэтому оно определено только при $a \neq 0$. Если $a=0$, то левая часть уравнения не имеет смысла, следовательно, решений нет.

Рассмотрим случай, когда $a \neq 0$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, в левой части уравнения:

$\frac{x}{a} + x = a + 1$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(\frac{1}{a} + 1) = a + 1$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$x\left(\frac{1 + a}{a}\right) = a + 1$

Решение этого линейного уравнения зависит от коэффициента при $x$, то есть от выражения $\frac{1+a}{a}$.

1. Если коэффициент при $x$ не равен нулю: $\frac{1 + a}{a} \neq 0$.

Так как мы уже установили, что $a \neq 0$, это условие эквивалентно $1 + a \neq 0$, то есть $a \neq -1$. В этом случае (когда $a \neq 0$ и $a \neq -1$) уравнение имеет единственное решение, которое можно найти, разделив обе части на коэффициент при $x$:

$x = \frac{a + 1}{\frac{1 + a}{a}}$

Упростим выражение:

$x = (a + 1) \cdot \frac{a}{1 + a} = a$

2. Если коэффициент при $x$ равен нулю: $\frac{1 + a}{a} = 0$.

Это возможно только если числитель равен нулю, то есть $1 + a = 0$, откуда $a = -1$. Подставим это значение в уравнение $x\left(\frac{1 + a}{a}\right) = a + 1$:

$x\left(\frac{1 + (-1)}{-1}\right) = -1 + 1$

$x \cdot \left(\frac{0}{-1}\right) = 0$

$x \cdot 0 = 0$

Получено верное равенство $0 = 0$. Следовательно, при $a = -1$ решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: если $a = -1$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a = 0$, то решений нет; если $a \neq 0$ и $a \neq -1$, то $x = a$.