Номер 34.5, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.5, страница 216.

Решите неравенство (относительно x):

34.5. a) $mx - x + 1 \ge m^2$;

б) $b^2x - x + 1 > b$.

а) $mx - x + 1 \ge m^2$

Это линейное неравенство относительно переменной $x$ с параметром $m$. Для его решения сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а остальные перенесем в правую:

$mx - x \ge m^2 - 1$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:

$x(m - 1) \ge m^2 - 1$

Для того чтобы выразить $x$, необходимо разделить обе части неравенства на $(m-1)$. Знак неравенства при этом будет зависеть от знака выражения $(m-1)$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Случай 1: $m - 1 > 0$, то есть $m > 1$.
При делении на положительное число $(m-1)$ знак неравенства сохраняется.
$x \ge \frac{m^2 - 1}{m - 1}$
Используя формулу разности квадратов $m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1)$ и учитывая, что $m-1 \ne 0$, сократим дробь:
$x \ge \frac{(m - 1)(m + 1)}{m - 1}$
$x \ge m + 1$

2. Случай 2: $m - 1 < 0$, то есть $m < 1$.
При делении на отрицательное число $(m-1)$ знак неравенства меняется на противоположный.
$x \le \frac{m^2 - 1}{m - 1}$
$x \le m + 1$

3. Случай 3: $m - 1 = 0$, то есть $m = 1$.
Подставим $m=1$ в преобразованное неравенство $x(m - 1) \ge m^2 - 1$:
$x(1 - 1) \ge 1^2 - 1$
$x \cdot 0 \ge 0$
$0 \ge 0$
Полученное неравенство является верным и не зависит от $x$. Следовательно, решением является любое действительное число.

Ответ: если $m > 1$, то $x \in [m + 1; +\infty)$; если $m < 1$, то $x \in (-\infty; m + 1]$; если $m = 1$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $b^2x - x + 1 > b$

Это линейное неравенство относительно $x$ с параметром $b$. Сгруппируем слагаемые с $x$ слева:

$b^2x - x > b - 1$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(b^2 - 1) > b - 1$

Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$. Знаки этого выражения определяются положением $b$ относительно корней $b = -1$ и $b = 1$. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Случай 1: $b^2 - 1 > 0$, то есть $b < -1$ или $b > 1$.
При делении на положительное число $(b^2 - 1)$ знак неравенства не меняется.
$x > \frac{b - 1}{b^2 - 1}$
Учитывая, что $b^2-1 = (b-1)(b+1)$ и $b \ne 1$, сокращаем дробь:
$x > \frac{b - 1}{(b - 1)(b + 1)}$
$x > \frac{1}{b + 1}$

2. Случай 2: $b^2 - 1 < 0$, то есть $-1 < b < 1$.
При делении на отрицательное число $(b^2 - 1)$ знак неравенства меняется на противоположный.
$x < \frac{b - 1}{b^2 - 1}$
$x < \frac{1}{b + 1}$

3. Случай 3: $b^2 - 1 = 0$, то есть $b = 1$ или $b = -1$.
Рассмотрим эти два значения параметра отдельно.

а) При $b = 1$.
Подставляем в неравенство $x(b^2 - 1) > b - 1$:
$x(1^2 - 1) > 1 - 1$
$x \cdot 0 > 0$
$0 > 0$
Получили неверное числовое неравенство. Следовательно, при $b=1$ решений нет.

б) При $b = -1$.
Подставляем в неравенство $x(b^2 - 1) > b - 1$:
$x((-1)^2 - 1) > -1 - 1$
$x \cdot 0 > -2$
$0 > -2$
Получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, при $b=-1$ решением является любое действительное число.

Ответ: если $b \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, то $x \in (\frac{1}{b+1}; +\infty)$; если $b \in (-1; 1)$, то $x \in (-\infty; \frac{1}{b+1})$; если $b=1$, то решений нет ($x \in \emptyset$); если $b=-1$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.