Номер 34.11, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.11, страница 217.

34.11. При каких значениях $a$:

a) уравнение $(\log_3 a)x^2 - (2\log_3 a - 1)x + \log_3 a - 2 = 0$ имеет единственный корень;

б) уравнение $(\log_4 a)x^2 - (2\log_4 a + 1)x + \log_4 a + 2 = 0$ не имеет корней?

а) найти значения $a$, при которых уравнение $(\log_3 a)x^2 - (2\log_3 a - 1)x + \log_3 a - 2 = 0$ имеет единственный корень.

Сначала определим область допустимых значений для параметра $a$. Так как в уравнении присутствует $\log_3 a$, должно выполняться условие $a > 0$.

Для упрощения уравнения введем замену: пусть $t = \log_3 a$. Уравнение принимает вид:

$tx^2 - (2t - 1)x + (t - 2) = 0$

Данное уравнение относительно $x$ может быть линейным или квадратным в зависимости от значения $t$. Уравнение имеет единственный корень в двух случаях.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $t=0$.

Если $t = 0$, то $\log_3 a = 0$, откуда $a = 3^0 = 1$. Это значение удовлетворяет условию $a > 0$.

Подставим $t=0$ в уравнение:

$0 \cdot x^2 - (2 \cdot 0 - 1)x + (0 - 2) = 0$

$-(-1)x - 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x = 2$

В этом случае уравнение имеет один корень, поэтому значение $a=1$ является решением.

Случай 2: Уравнение является квадратным и имеет один корень.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($t \ne 0$), а дискриминант $D$ равен нулю.

Вычислим дискриминант $D$ для квадратного уравнения $tx^2 - (2t - 1)x + (t - 2) = 0$:

$D = (-(2t - 1))^2 - 4 \cdot t \cdot (t - 2) = (4t^2 - 4t + 1) - (4t^2 - 8t) = 4t^2 - 4t + 1 - 4t^2 + 8t = 4t + 1$

Приравняем дискриминант к нулю:

$D = 0 \implies 4t + 1 = 0 \implies t = -1/4$

Так как $t = -1/4 \ne 0$, этот случай является случаем квадратного уравнения.

Теперь найдем соответствующее значение $a$:

$\log_3 a = t \implies \log_3 a = -1/4 \implies a = 3^{-1/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Это значение также удовлетворяет условию $a > 0$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=1$ и $a = 3^{-1/4}$.

Ответ: $a = 1, a = 3^{-1/4}$.

б) найти значения $a$, при которых уравнение $(\log_4 a)x^2 - (2\log_4 a + 1)x + \log_4 a + 2 = 0$ не имеет корней.

Область допустимых значений для параметра $a$ определяется условием $a > 0$.

Введем замену: пусть $p = \log_4 a$. Уравнение примет вид:

$px^2 - (2p + 1)x + (p + 2) = 0$

Уравнение не имеет действительных корней, если оно является квадратным и его дискриминант отрицателен.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $p = 0$.

Если $p = 0$, то $\log_4 a = 0$, откуда $a = 4^0 = 1$.

Подставим $p=0$ в уравнение:

$0 \cdot x^2 - (2 \cdot 0 + 1)x + (0 + 2) = 0$

$-x + 2 = 0$

$x = 2$

В этом случае уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи (отсутствие корней).

Случай 2: Уравнение является квадратным и не имеет корней.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($p \ne 0$), а дискриминант $D$ меньше нуля.

Вычислим дискриминант $D$ для квадратного уравнения $px^2 - (2p + 1)x + (p + 2) = 0$:

$D = (-(2p + 1))^2 - 4 \cdot p \cdot (p + 2) = (4p^2 + 4p + 1) - (4p^2 + 8p) = 4p^2 + 4p + 1 - 4p^2 - 8p = -4p + 1$

Чтобы корней не было, решим неравенство $D < 0$:

$-4p + 1 < 0$

$1 < 4p$

$p > 1/4$

При таких значениях $p$ условие $p \ne 0$ выполняется автоматически.

Теперь вернемся к переменной $a$:

$\log_4 a = p \implies \log_4 a > 1/4$

Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому, потенцируя обе части неравенства, получаем:

$a > 4^{1/4}$

Упростим правую часть: $4^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Следовательно, $a > \sqrt{2}$.

Ответ: $a \in (\sqrt{2}; +\infty)$.