Номер 34.8, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.8, страница 216.

34.8. При каких значениях параметра $a$ система уравнений имеет решения:

a) $\begin{cases} y = 2x^2 - 5x + 1, \\ y = 3x + a; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 3x^2 - 4x - 2, \\ y = -10x + a? \end{cases}$

a)

Система уравнений имеет решения в том и только в том случае, когда графики функций $y = 2x^2 - 5x + 1$ (парабола) и $y = 3x + a$ (прямая) имеют хотя бы одну общую точку. Координаты общих точек удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:

$2x^2 - 5x + 1 = 3x + a$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$2x^2 - 5x - 3x + 1 - a = 0$

$2x^2 - 8x + (1 - a) = 0$

Это квадратное уравнение будет иметь хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D$ будет неотрицательным, то есть $D \ge 0$.

Вычислим дискриминант. Для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае $A=2$, $B=-8$, $C=1-a$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 64 - 8(1 - a) = 64 - 8 + 8a = 56 + 8a$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$:

$56 + 8a \ge 0$

$8a \ge -56$

$a \ge \frac{-56}{8}$

$a \ge -7$

Таким образом, система уравнений имеет решения при всех значениях $a$, удовлетворяющих этому условию.

Ответ: $a \in [-7; +\infty)$.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Система имеет решения, если графики функций $y = 3x^2 - 4x - 2$ и $y = -10x + a$ пересекаются. Приравняем правые части уравнений:

$3x^2 - 4x - 2 = -10x + a$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$3x^2 - 4x + 10x - 2 - a = 0$

$3x^2 + 6x - (2 + a) = 0$

Это уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D \ge 0$. В этом уравнении коэффициенты: $A=3$, $B=6$, $C=-(2+a)$.

Вычислим дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-(2 + a)) = 36 - 12 \cdot (-2 - a) = 36 + 24 + 12a = 60 + 12a$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$60 + 12a \ge 0$

$12a \ge -60$

$a \ge \frac{-60}{12}$

$a \ge -5$

Следовательно, система уравнений имеет решения при $a \ge -5$.

Ответ: $a \in [-5; +\infty)$.