Номер 34.10, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.10, страница 216.

34.10. При каких значениях a корни уравнения:

a) $x^2 - 8ax + 27 = 0$ относятся как 3 : 1;

б) $x^2 - 10ax + 24 = 0$ относятся как 2 : 3?

а)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 8ax + 27 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. По условию, их отношение равно $3:1$. Это значит, что корни можно представить в виде $x_1 = 3k$ и $x_2 = k$ для некоторого ненулевого числа $k$.

Воспользуемся теоремой Виета для данного уравнения. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p = -8a$ и $q = 27$. Таким образом:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8a) = 8a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 27$

Подставим выражения для корней ($x_1 = 3k$, $x_2 = k$) в эти равенства, получим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3k + k = 8a \\ (3k) \cdot k = 27 \end{cases} $

Решим эту систему:

Из первого уравнения: $4k = 8a$, откуда $k = 2a$.

Из второго уравнения: $3k^2 = 27$, откуда $k^2 = 9$, и, следовательно, $k = 3$ или $k = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $a$, подставив значения $k$ в соотношение $k = 2a$.

1. Если $k = 3$, то $3 = 2a \implies a = 3/2$.

2. Если $k = -3$, то $-3 = 2a \implies a = -3/2$.

Необходимо также убедиться, что при найденных значениях $a$ уравнение имеет действительные корни, то есть дискриминант $D \ge 0$.

$D = (-8a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 64a^2 - 108$.

При $a = \pm 3/2$, значение $a^2 = (3/2)^2 = 9/4$.

$D = 64 \cdot (9/4) - 108 = 16 \cdot 9 - 108 = 144 - 108 = 36$.

Поскольку $D = 36 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при найденных значениях $a$.

Ответ: $a = -3/2; a = 3/2$.

б)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 10ax + 24 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. По условию, их отношение равно $2:3$. Представим корни в виде $x_1 = 2k$ и $x_2 = 3k$ для некоторого ненулевого числа $k$.

Применим теорему Виета. В данном уравнении $p = -10a$ и $q = 24$.

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-10a) = 10a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 24$

Подставим выражения для корней ($x_1 = 2k$, $x_2 = 3k$) в эти равенства:

$ \begin{cases} 2k + 3k = 10a \\ (2k) \cdot (3k) = 24 \end{cases} $

Решим полученную систему:

Из первого уравнения: $5k = 10a$, откуда $k = 2a$.

Из второго уравнения: $6k^2 = 24$, откуда $k^2 = 4$, и, следовательно, $k = 2$ или $k = -2$.

Найдем соответствующие значения $a$, используя соотношение $k = 2a$.

1. Если $k = 2$, то $2 = 2a \implies a = 1$.

2. Если $k = -2$, то $-2 = 2a \implies a = -1$.

Проверим условие существования действительных корней ($D \ge 0$).

$D = (-10a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100a^2 - 96$.

При $a = \pm 1$, значение $a^2 = 1$.

$D = 100 \cdot 1 - 96 = 4$.

Так как $D = 4 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при найденных значениях $a$.

Ответ: $a = -1; a = 1$.