Номер 34.14, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.14, страница 217.

34.14. При каких значениях $b$ графики функций имеют общие точки:

а) $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = -2x + b$;

б) $y = x^2 + 6x + 7$ и $y = 2x + b$?

а) Чтобы найти значения параметра $b$, при которых графики функций $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = -2x + b$ имеют общие точки, нужно, чтобы система уравнений имела хотя бы одно решение. Для этого приравняем правые части уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ совпадают:
$x^2 - 4x + 2 = -2x + b$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $x$:
$x^2 - 4x + 2x + 2 - b = 0$
$x^2 - 2x + (2 - b) = 0$
Данное квадратное уравнение будет иметь хотя бы один действительный корень (что соответствует наличию хотя бы одной общей точки у графиков), если его дискриминант $D$ будет больше или равен нулю ($D \ge 0$).
Дискриминант для уравнения вида $ax^2 + kx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = k^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $k=-2$, $c=(2-b)$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - b) = 4 - 8 + 4b = 4b - 4$
Теперь решим неравенство $D \ge 0$:
$4b - 4 \ge 0$
$4b \ge 4$
$b \ge 1$
Таким образом, графики функций имеют общие точки при всех значениях $b$, удовлетворяющих этому условию.
Ответ: $b \ge 1$.

б) Аналогично поступим для функций $y = x^2 + 6x + 7$ и $y = 2x + b$. Приравняем их правые части:
$x^2 + 6x + 7 = 2x + b$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + 6x - 2x + 7 - b = 0$
$x^2 + 4x + (7 - b) = 0$
Это квадратное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если его дискриминант $D \ge 0$. Коэффициенты этого уравнения: $a=1$, $k=4$, $c=(7-b)$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7 - b) = 16 - 28 + 4b = 4b - 12$
Решим неравенство $D \ge 0$:
$4b - 12 \ge 0$
$4b \ge 12$
$b \ge 3$
Следовательно, графики функций имеют общие точки при всех значениях $b$, удовлетворяющих этому условию.
Ответ: $b \ge 3$.