Номер 34.21, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.21, страница 218.

34.21. Решите неравенство:

а) $ \sqrt{x-2(x-a)} \ge 0; $

б) $ (6-x)\sqrt{x-a} > 0. $

а)

Исходное неравенство: $\sqrt{x - 2(x - a)} \ge 0$.

Арифметический квадратный корень по определению является неотрицательным числом ($\sqrt{y} \ge 0$). Следовательно, данное неравенство выполняется для всех значений $x$, при которых подкоренное выражение определено, то есть неотрицательно. Это условие называется Областью допустимых значений (ОДЗ).

Найдем ОДЗ, решив соответствующее неравенство:

$x - 2(x - a) \ge 0$

Раскроем скобки в левой части:

$x - 2x + 2a \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x + 2a \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства:

$2a \ge x$, что эквивалентно $x \le 2a$.

Таким образом, решение исходного неравенства совпадает с его областью допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty, 2a]$.

б)

Исходное неравенство: $(6 - x)\sqrt{x - a} > 0$.

Произведение двух множителей больше нуля, если оба множителя имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны).

Множитель $\sqrt{x-a}$ по определению арифметического корня не может быть отрицательным. Значит, для выполнения неравенства оба множителя должны быть строго положительными.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ \sqrt{x - a} > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе.

1) Из первого неравенства получаем:

$6 - x > 0 \implies 6 > x \implies x < 6$.

2) Второе неравенство $\sqrt{x - a} > 0$ выполняется тогда и только тогда, когда подкоренное выражение строго положительно:

$x - a > 0 \implies x > a$.

Таким образом, решение исходного неравенства — это решение системы:

$\begin{cases} x < 6 \\ x > a \end{cases}$

Теперь необходимо проанализировать решение этой системы в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a < 6$.

В этом случае интервалы $(-\infty, 6)$ и $(a, \infty)$ пересекаются. Решением системы является интервал $a < x < 6$.

Случай 2: $a \ge 6$.

В этом случае система не имеет решений. Не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше 6 и больше или равно 6. Следовательно, множество решений пустое.

Объединим результаты.

Ответ: если $a < 6$, то $x \in (a, 6)$; если $a \ge 6$, то решений нет ($\emptyset$).