Номер 34.26, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.26, страница 218.

Решите уравнение:

34.26. а) $ \sin x = 3a - 2; $

б) $ \cos^2 x = 2a - 1. $

a) $ \sin x = 3a - 2; $
Данное уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением вида $ \sin x = C $. Оно имеет решение только в том случае, когда значение $ C $ находится в пределах области значений функции синус, то есть $ -1 \le C \le 1 $.
В нашем случае $ C = 3a - 2 $. Следовательно, уравнение имеет решения при выполнении условия:
$ -1 \le 3a - 2 \le 1 $
Прибавим ко всем частям неравенства 2:
$ -1 + 2 \le 3a \le 1 + 2 $
$ 1 \le 3a \le 3 $
Разделим все части неравенства на 3:
$ \frac{1}{3} \le a \le 1 $
Таким образом, уравнение имеет решения только при $ a \in [\frac{1}{3}; 1] $.
При этих значениях $ a $ общее решение уравнения записывается по формуле:
$ x = (-1)^k \arcsin(3a - 2) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Если $ a < \frac{1}{3} $ или $ a > 1 $, то выражение $ 3a - 2 $ выходит за пределы отрезка $ [-1; 1] $, и уравнение не имеет решений.

Ответ: если $ a \in [\frac{1}{3}; 1] $, то $ x = (-1)^k \arcsin(3a - 2) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $; если $ a \notin [\frac{1}{3}; 1] $, то решений нет.

б) $ \cos^2 x = 2a - 1. $
Область значений функции $ y = \cos^2 x $ — это отрезок $ [0; 1] $, так как $ -1 \le \cos x \le 1 $, и при возведении в квадрат результат не может быть отрицательным.
Следовательно, данное уравнение имеет решения только при условии:
$ 0 \le 2a - 1 \le 1 $
Прибавим ко всем частям неравенства 1:
$ 0 + 1 \le 2a \le 1 + 1 $
$ 1 \le 2a \le 2 $
Разделим все части неравенства на 2:
$ \frac{1}{2} \le a \le 1 $
Уравнение имеет решения только при $ a \in [\frac{1}{2}; 1] $.
Для решения уравнения воспользуемся формулой понижения степени: $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $.
Подставим это в исходное уравнение:
$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} = 2a - 1 $
Умножим обе части на 2:
$ 1 + \cos(2x) = 4a - 2 $
Выразим $ \cos(2x) $:
$ \cos(2x) = 4a - 3 $
Теперь решим это уравнение относительно $ 2x $. Общее решение для $ \cos y = C $: $ y = \pm \arccos(C) + 2\pi k $.
$ 2x = \pm \arccos(4a - 3) + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:
$ x = \pm \frac{1}{2} \arccos(4a - 3) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Если $ a < \frac{1}{2} $ или $ a > 1 $, то уравнение не имеет решений.

Ответ: если $ a \in [\frac{1}{2}; 1] $, то $ x = \pm \frac{1}{2} \arccos(4a - 3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $; если $ a \notin [\frac{1}{2}; 1] $, то решений нет.