Номер 34.22, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.22, страница 218.

34.22. a) При каких значениях параметра $a$ решением неравенства $(x - a)^2(x - 3)(x + 1) \leq 0$ является отрезок?

б) При каких значениях параметра $a$ неравенство $\frac{x - 2a - 1}{x - a} < 0$ выполняется при всех значениях $x$ из отрезка $[1; 2]$?

а)

Рассмотрим неравенство $(x - a)^2(x - 3)(x + 1) \le 0$.

Множитель $(x - a)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x - a)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$.

Неравенство обращается в верное равенство $0 \le 0$, если $x - a = 0$, то есть $x = a$. Таким образом, $x=a$ всегда является решением неравенства, независимо от значения параметра $a$.

Если $x \ne a$, то $(x - a)^2 > 0$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на $(x-a)^2$, не меняя знака неравенства. Получим:

$(x - 3)(x + 1) \le 0$

Это квадратичное неравенство. Корнями выражения $(x - 3)(x + 1)$ являются $x = -1$ и $x = 3$. График функции $y=(x-3)(x+1)$ — парабола с ветвями вверх, поэтому выражение неположительно на промежутке между корнями.

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-1, 3]$.

Объединяя оба случая, получаем, что множество решений исходного неравенства есть объединение точки $x=a$ и отрезка $[-1, 3]$. То есть, множество решений $S = [-1, 3] \cup \{a\}$.

По условию задачи, решением неравенства должен быть отрезок. Множество $S$ является отрезком тогда и только тогда, когда точка $a$ принадлежит отрезку $[-1, 3]$.

Если $a \in [-1, 3]$, то $\{a\} \subseteq [-1, 3]$, и их объединение $S = [-1, 3]$, что является отрезком.

Если $a < -1$ или $a > 3$, то множество решений является объединением отрезка и изолированной точки, что не является одним отрезком.

Следовательно, искомые значения параметра $a$ удовлетворяют условию $-1 \le a \le 3$.

Ответ: $a \in [-1, 3]$.

б)

Требуется найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $\frac{x - 2a - 1}{x - a} < 0$ выполняется для всех значений $x$ из отрезка $[1; 2]$.

Во-первых, знаменатель $x - a$ не должен обращаться в ноль ни при каком $x \in [1; 2]$. Это означает, что $a \notin [1; 2]$.

Данное дробно-рациональное неравенство равносильно неравенству $(x - 2a - 1)(x - a) < 0$ (при условии $x \ne a$).

Обозначим левую часть как функцию от $x$: $f(x) = (x - (2a + 1))(x - a)$. Эта функция является квадратичной относительно $x$, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1.

Для того чтобы такая парабола принимала отрицательные значения на всем отрезке $[1; 2]$, необходимо и достаточно, чтобы ее значения на концах этого отрезка были отрицательными. То есть должны выполняться два условия одновременно:

$\begin{cases} f(1) < 0 \\ f(2) < 0 \end{cases}$

Найдем $f(1)$ и подставим в первое неравенство системы:

$f(1) = (1 - 2a - 1)(1 - a) = (-2a)(1 - a) = 2a(a - 1)$.

Решим неравенство $2a(a - 1) < 0$. Корнями являются $a=0$ и $a=1$. Решением является интервал $a \in (0; 1)$.

Найдем $f(2)$ и подставим во второе неравенство системы:

$f(2) = (2 - 2a - 1)(2 - a) = (1 - 2a)(2 - a) = (2a - 1)(a - 2)$.

Решим неравенство $(2a - 1)(a - 2) < 0$. Корнями являются $a=1/2$ и $a=2$. Решением является интервал $a \in (1/2; 2)$.

Для нахождения искомых значений $a$ необходимо найти пересечение полученных интервалов:

$a \in (0; 1) \cap (1/2; 2)$.

Пересечением является интервал $a \in (1/2; 1)$.

Вспомним исходное условие, что $a \notin [1; 2]$. Найденный интервал $(1/2; 1)$ не имеет общих точек с отрезком $[1; 2]$, следовательно, это условие выполнено.

Ответ: $a \in (1/2; 1)$.