Номер 34.28, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.28, страница 218.

34.28. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ \sin 2x = a $ имеет на отрезке $[0; 2\pi]$ пять корней?

Для решения задачи рассмотрим уравнение $sin(2x) = a$ на отрезке $x \in [0; 2\pi]$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x$. Необходимо определить, какому отрезку принадлежит новая переменная $t$. Поскольку $0 \le x \le 2\pi$, умножим все части этого неравенства на 2, чтобы получить диапазон для $t$:$2 \cdot 0 \le 2 \cdot x \le 2 \cdot 2\pi$$0 \le t \le 4\pi$Таким образом, переменная $t$ принадлежит отрезку $[0; 4\pi]$.

Теперь задача сводится к нахождению таких значений параметра $a$, при которых уравнение $sin(t) = a$ имеет ровно пять корней на отрезке $[0; 4\pi]$.

Наиболее наглядно эту задачу можно решить графически. Для этого построим график функции $y = sin(t)$ на отрезке $[0; 4\pi]$ и рассмотрим его пересечения с горизонтальной прямой $y = a$. Количество корней уравнения будет равно количеству точек пересечения этих двух графиков.

График функции $y = sin(t)$ на отрезке $[0; 4\pi]$ представляет собой две полные волны синусоиды.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения параметра $a$:

• Если $|a| > 1$, прямая $y=a$ не пересекает график синусоиды, следовательно, уравнение не имеет корней.
• Если $a = 1$, прямая $y=1$ касается вершин синусоиды. На отрезке $[0; 4\pi]$ это происходит в двух точках: $t = \frac{\pi}{2}$ и $t = \frac{5\pi}{2}$. В этом случае уравнение имеет два корня.
• Если $a = -1$, прямая $y=-1$ касается самых низких точек синусоиды. На отрезке $[0; 4\pi]$ это происходит также в двух точках: $t = \frac{3\pi}{2}$ и $t = \frac{7\pi}{2}$. Уравнение имеет два корня.
• Если $0 < a < 1$ или $-1 < a < 0$, прямая $y=a$ пересекает каждую из двух полных волн синусоиды в двух точках. В обоих случаях общее количество точек пересечения равно четырем, следовательно, уравнение имеет четыре корня.
• Если $a = 0$, уравнение принимает вид $sin(t) = 0$. Прямая $y=0$ (ось абсцисс) пересекает график функции $y=sin(t)$ в точках, где $t = k\pi$ для целых $k$. Найдем все такие точки, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$: $t_1 = 0 \cdot \pi = 0$ $t_2 = 1 \cdot \pi = \pi$ $t_3 = 2 \cdot \pi = 2\pi$ $t_4 = 3 \cdot \pi = 3\pi$ $t_5 = 4 \cdot \pi = 4\pi$ Мы получили ровно пять различных корней для переменной $t$.

Таким образом, единственным значением параметра, при котором уравнение имеет пять корней, является $a=0$.При $a=0$ мы получили пять корней для $t$: $0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$. Выполним обратную замену $x = t/2$, чтобы найти корни исходного уравнения:$x_1 = 0/2 = 0$$x_2 = \pi/2$$x_3 = 2\pi/2 = \pi$$x_4 = 3\pi/2$$x_5 = 4\pi/2 = 2\pi$Все пять корней принадлежат исходному отрезку $[0; 2\pi]$.

Ответ: $a=0$.