Номер 34.25, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.25, страница 218.

34.25. a) При каких значениях параметра $a$ функция $y = ax^3 + 3ax^2 + 6x + 7$ возрастает на всей числовой прямой?

б) При каких значениях параметра $a$ функция $y = 2x^3 - 6a^2x + 3$ имеет минимум в точке $x = 3$?

а) Чтобы функция $y = ax^3 + 3x^2 + 6x + 7$ возрастала на всей числовой прямой, ее производная должна быть неотрицательной для всех действительных значений $x$, то есть $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:
$y' = (ax^3 + 3x^2 + 6x + 7)' = 3ax^2 + 6x + 6$.

Теперь решим неравенство $3ax^2 + 6x + 6 \ge 0$ относительно $x$. Это квадратичное неравенство.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $6x + 6 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Это условие выполняется не для всех $x$ на числовой прямой. Следовательно, $a=0$ не является решением.

2. Если $a \neq 0$, то $3ax^2 + 6x + 6$ — это квадратичная функция. Ее график — парабола. Для того чтобы неравенство $3ax^2 + 6x + 6 \ge 0$ выполнялось для всех $x$, парабола должна быть расположена не ниже оси абсцисс. Это возможно только если ветви параболы направлены вверх и она имеет не более одной точки пересечения с осью $x$. Это означает, что должны выполняться два условия одновременно:

• Коэффициент при $x^2$ должен быть положительным: $3a > 0$, то есть $a > 0$.
• Дискриминант квадратного трехчлена должен быть неположительным (чтобы было не более одного корня): $D \le 0$.

Вычислим дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot (3a) \cdot 6 = 36 - 72a$.

Решим неравенство $D \le 0$:
$36 - 72a \le 0$
$36 \le 72a$
$a \ge \frac{36}{72}$
$a \ge \frac{1}{2}$

Объединяя два условия ($a > 0$ и $a \ge \frac{1}{2}$), получаем, что $a \ge \frac{1}{2}$.

Ответ: $a \in [\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) Чтобы функция $y = 2x^3 - 6a^2x + 3$ имела минимум в точке $x = 3$, должны выполняться два условия:

1. Необходимое условие экстремума: производная функции в этой точке должна быть равна нулю, то есть $y'(3) = 0$.

2. Достаточное условие минимума: вторая производная в этой точке должна быть положительной, то есть $y''(3) > 0$.

Найдем первую производную:
$y' = (2x^3 - 6a^2x + 3)' = 6x^2 - 6a^2$.

Применим необходимое условие:
$y'(3) = 6(3)^2 - 6a^2 = 0$
$6 \cdot 9 - 6a^2 = 0$
$54 - 6a^2 = 0$
$6a^2 = 54$
$a^2 = 9$
$a = 3$ или $a = -3$.

Теперь проверим достаточное условие. Найдем вторую производную:
$y'' = (6x^2 - 6a^2)' = 12x$.

Вычислим значение второй производной в точке $x = 3$:
$y''(3) = 12 \cdot 3 = 36$.

Так как $y''(3) = 36 > 0$, точка $x=3$ действительно является точкой минимума. Это условие выполняется независимо от значения параметра $a$. Следовательно, найденные значения $a$ являются решением задачи.

Ответ: $a = -3, a = 3$.