Номер 34.29, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.29, страница 219.

34.29. При каких значениях a:

а) уравнение $5^{2x} - 3 \cdot 5^x + a - 1 = 0$ имеет единственный корень;

б) уравнение $0.01^x - 2(a + 1) \cdot 0.1^x + 4 = 0$ не имеет корней?

а) уравнение $5^{2x} - 3 \cdot 5^x + a - 1 = 0$ имеет единственный корень;

Данное уравнение является показательным. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 3t + a - 1 = 0$

Исходное уравнение имеет единственный корень, если полученное квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1: Квадратное уравнение имеет один корень, и этот корень положителен.

Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 1) = 9 - 4a + 4 = 13 - 4a$.

$D = 0 \implies 13 - 4a = 0 \implies a = \frac{13}{4}$.

При этом значении $a$ корень уравнения $t = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$.

Так как $t = \frac{3}{2} > 0$, это условие нам подходит. При $a = \frac{13}{4}$ исходное уравнение имеет единственный корень $x = \log_5(\frac{3}{2})$.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет два различных корня, но только один из них является положительным.

Это возможно, если один корень положительный, а другой — отрицательный или равен нулю. Для наличия двух различных корней дискриминант должен быть строго положительным: $D > 0 \implies 13 - 4a > 0 \implies a < \frac{13}{4}$.

Пусть $t_1$ и $t_2$ — корни квадратного уравнения. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 3$

$t_1 \cdot t_2 = a - 1$

Подслучай 2.1: Один корень положительный, другой — отрицательный.

В этом случае произведение корней должно быть отрицательным: $t_1 \cdot t_2 < 0$.

$a - 1 < 0 \implies a < 1$.

Это условие ($a < 1$) обеспечивает, что $D = 13 - 4a > 13 - 4 = 9 > 0$, так что два различных корня действительно существуют. Один из них будет положительным, а другой отрицательным, что даст один корень для исходного уравнения.

Подслучай 2.2: Один корень положительный, другой — равен нулю.

Если один из корней, например $t_1$, равен 0, то их произведение $t_1 \cdot t_2 = 0$.

$a - 1 = 0 \implies a = 1$.

При $a = 1$ уравнение для $t$ имеет вид $t^2 - 3t = 0$, или $t(t-3)=0$. Корни $t_1 = 0$ и $t_2 = 3$.

Корень $t_1 = 0$ не дает решения для $x$, так как $5^x$ не может быть равно нулю. Корень $t_2 = 3$ дает единственное решение $x = \log_5(3)$. Следовательно, $a=1$ нам подходит.

Объединим все найденные значения $a$:

$a = \frac{13}{4}$

$a < 1$

$a = 1$

Таким образом, искомые значения $a$ принадлежат множеству $(-\infty; 1] \cup \{\frac{13}{4}\}$.

Ответ: $a \in (-\infty; 1] \cup \{\frac{13}{4}\}$.

б) уравнение $0,01^x - 2(a + 1) \cdot 0,1^x + 4 = 0$ не имеет корней?

Заметим, что $0,01^x = (0,1^2)^x = (0,1^x)^2$. Уравнение можно переписать в виде:

$(0,1^x)^2 - 2(a + 1) \cdot 0,1^x + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 0,1^x$. Так как $0,1^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 2(a + 1)t + 4 = 0$

Исходное уравнение не имеет корней, если полученное квадратное уравнение не имеет положительных корней. Это происходит в двух случаях:

Случай 1: Квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ отрицателен.

$D = (-2(a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4(a + 1)^2 - 16$.

$D < 0 \implies 4(a + 1)^2 - 16 < 0 \implies (a + 1)^2 < 4$.

Извлекая корень из обеих частей, получаем $|a + 1| < 2$, что равносильно системе неравенств:

$-2 < a + 1 < 2 \implies -3 < a < 1$.

При $a \in (-3; 1)$ уравнение для $t$ не имеет действительных корней, а значит, и исходное уравнение не имеет корней.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет действительные корни (один или два), но все они неположительны ($t \le 0$).

Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \ge 0$.

$4(a + 1)^2 - 16 \ge 0 \implies (a + 1)^2 \ge 4 \implies |a + 1| \ge 2$.

Это дает нам $a + 1 \ge 2$ или $a + 1 \le -2$, откуда $a \ge 1$ или $a \le -3$.

Пусть $t_1$ и $t_2$ — корни уравнения. Чтобы оба корня были неположительными ($t_1 \le 0$ и $t_2 \le 0$), по теореме Виета должны выполняться следующие условия:

1. $t_1 \cdot t_2 \ge 0$

2. $t_1 + t_2 \le 0$

Проверим эти условия для нашего уравнения $t^2 - 2(a + 1)t + 4 = 0$:

1. Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 4$. Так как $4 > 0$, это условие всегда выполнено, и корни (если они есть) имеют одинаковый знак. Поскольку нам нужны неположительные корни, они оба должны быть отрицательными.

2. Сумма корней: $t_1 + t_2 = 2(a + 1)$. Для того чтобы оба корня были отрицательными, их сумма должна быть отрицательной.

$2(a + 1) < 0 \implies a + 1 < 0 \implies a < -1$.

Теперь объединим условия для этого случая: корни существуют ($a \ge 1$ или $a \le -3$) и они оба отрицательны ($a < -1$).

Пересечение этих условий: $(a \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)) \cap (-\infty; -1)$ дает $a \in (-\infty; -3]$.

Итак, при $a \le -3$ уравнение для $t$ имеет два (или один при $a=-3$) отрицательных корня, что не дает решений для $x$.

Объединение результатов:

Исходное уравнение не имеет корней, если $a$ принадлежит объединению множеств, найденных в случаях 1 и 2:

$a \in (-3; 1) \cup (-\infty; -3]$.

Объединяя эти интервалы, получаем $a \in (-\infty; 1)$.

Ответ: $a < 1$.