Номер 34.31, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.31, страница 219.

34.31. Решите уравнение:

a) $\sqrt{a \cos 2x + 3 \sin 2x} = \cos x$, если известно, что $x = 0$ — корень уравнения;

б) $\sqrt{2 \sin 2x - a \cos 2x} = -\sin x$, если известно, что $x = -\frac{\pi}{2}$ — корень уравнения.

a)

По условию, $x=0$ является корнем уравнения $\sqrt{a \cos 2x + 3 \sin 2x} = \cos x$. Подставим это значение в уравнение, чтобы найти параметр $a$.

При $x=0$ имеем $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$, $\sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$ и $\cos(0)=1$.

$\sqrt{a \cdot 1 + 3 \cdot 0} = 1$

$\sqrt{a} = 1$

Возводя обе части в квадрат, получаем $a=1$.

Теперь решим уравнение при $a=1$:

$\sqrt{\cos 2x + 3 \sin 2x} = \cos x$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos 2x + 3 \sin 2x = \cos^2 x, \\ \cos x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Используем формулы двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

$(\cos^2 x - \sin^2 x) + 3(2 \sin x \cos x) = \cos^2 x$

$-\sin^2 x + 6 \sin x \cos x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (6 \cos x - \sin x) = 0$

Отсюда следует, что либо $\sin x = 0$, либо $6 \cos x - \sin x = 0$.

1. Если $\sin x = 0$, то $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие $\cos x \ge 0$. При $x=k\pi$, $\cos(k\pi) = (-1)^k$. Неравенство $(-1)^k \ge 0$ выполняется только для четных $k$. Положим $k=2n$, тогда $x = 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $6 \cos x - \sin x = 0$, то $\sin x = 6 \cos x$.
Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$ и можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\tan x = 6$

Решения этого уравнения: $x = \arctan(6) + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие $\cos x \ge 0$. Так как $\tan x = 6 > 0$, угол $x$ находится в I или III координатной четверти. Условию $\cos x \ge 0$ удовлетворяют углы в I и IV четвертях. Следовательно, угол $x$ должен быть в I четверти. Это соответствует четным значениям $k$. Положим $k=2n$, тогда $x = \arctan(6) + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя найденные решения, получаем две серии корней.

Ответ: $x = 2k\pi, x = \arctan(6) + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б)

По условию, $x = -\frac{\pi}{2}$ является корнем уравнения $\sqrt{2 \sin 2x - a \cos 2x} = -\sin x$. Подставим это значение в уравнение для нахождения параметра $a$.

При $x = -\frac{\pi}{2}$ имеем $2x = -\pi$. Тогда $\sin(2x) = \sin(-\pi) = 0$, $\cos(2x) = \cos(-\pi) = -1$ и $\sin(x) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

$\sqrt{2 \cdot 0 - a \cdot (-1)} = -(-1)$

$\sqrt{a} = 1$

Отсюда $a=1$.

Теперь решим уравнение при $a=1$:

$\sqrt{2 \sin 2x - \cos 2x} = -\sin x$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2 \sin 2x - \cos 2x = (-\sin x)^2, \\ -\sin x \ge 0 \end{cases}$

Второе условие можно переписать как $\sin x \le 0$.

Решим первое уравнение системы. Используем формулы двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

$2(2 \sin x \cos x) - (1 - 2\sin^2 x) = \sin^2 x$

$4 \sin x \cos x - 1 + 2\sin^2 x = \sin^2 x$

$4 \sin x \cos x - 1 + \sin^2 x = 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$, получаем:

$4 \sin x \cos x - (\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin^2 x = 0$

$4 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (4 \sin x - \cos x) = 0$

Отсюда следует, что либо $\cos x = 0$, либо $4 \sin x - \cos x = 0$.

1. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие $\sin x \le 0$.
Если $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (четные $k$), то $\sin x = 1 > 0$. Эти корни не подходят.
Если $x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (нечетные $k$), то $\sin x = -1 \le 0$. Эти корни подходят.

2. Если $4 \sin x - \cos x = 0$, то $4 \sin x = \cos x$.
Так как $\cos x=0$ не является решением этого уравнения, разделим обе части на $\cos x$:

$\tan x = \frac{1}{4}$

Решения этого уравнения: $x = \arctan(\frac{1}{4}) + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие $\sin x \le 0$. Так как $\tan x = \frac{1}{4} > 0$, угол $x$ находится в I или III координатной четверти. Условию $\sin x \le 0$ удовлетворяют углы в III и IV четвертях. Следовательно, угол $x$ должен быть в III четверти. Это соответствует нечетным значениям $k$. Положим $k=2n+1$, тогда $x = \arctan(\frac{1}{4}) + (2n+1)\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя найденные решения, получаем две серии корней.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, x = \arctan(\frac{1}{4}) + (2k+1)\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.