Номер 34.34, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.34, страница 219.

34.34. При каждом значении параметра a найдите число различных корней уравнения:

a) $\sqrt{x} = x - a$;

б) $\sqrt{4 - x^2} = x + a$.

а)

Рассмотрим данное уравнение $\sqrt{x} = x - a$. Число его различных корней равно числу точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x - a$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x = y^2$, лежащая в первой координатной четверти. Она начинается в точке $(0, 0)$ и является возрастающей и выпуклой вверх.

График функции $y = x - a$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=1$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой по оси Oy (y-перехват равен $-a$).

Для определения числа точек пересечения найдем ключевые положения прямой $y = x - a$ относительно графика $y = \sqrt{x}$.

1. Случай касания. Прямая $y = x - a$ касается графика $y = \sqrt{x}$. В точке касания $(x_0, y_0)$ угловой коэффициент касательной равен производной функции $y = \sqrt{x}$.

Производная $y' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Угловой коэффициент прямой $y = x - a$ равен 1. Приравниваем: $\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 1$, откуда $\sqrt{x_0} = \frac{1}{2}$, то есть $x_0 = \frac{1}{4}$.

Тогда $y_0 = \sqrt{x_0} = \frac{1}{2}$. Точка касания — $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$.

Подставим координаты этой точки в уравнение прямой, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{4} - a \implies a = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

При $a = -\frac{1}{4}$ прямая касается графика, следовательно, уравнение имеет один корень.

2. Прямая проходит через начальную точку графика. График $y=\sqrt{x}$ начинается в точке $(0, 0)$. Найдем значение $a$, при котором прямая $y = x - a$ проходит через эту точку:

$0 = 0 - a \implies a = 0$.

При $a=0$ уравнение принимает вид $\sqrt{x} = x$. Возведя в квадрат, получим $x = x^2$, или $x(x-1)=0$. Корни $x=0$ и $x=1$. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Таким образом, при $a=0$ уравнение имеет два корня.

Теперь проанализируем число корней в зависимости от значения $a$:

• Если прямая $y=x-a$ лежит выше касательной (ее y-перехват $-a$ больше, чем $1/4$), то пересечений нет. $-a > \frac{1}{4} \implies a < -\frac{1}{4}$. В этом случае корней нет.
• Если $a = -\frac{1}{4}$, имеем касание, один корень.
• Если прямая расположена между касательной и прямой, проходящей через начало координат (то есть $0 \le -a < \frac{1}{4}$), то она пересекает график в двух точках. $0 \le -a < \frac{1}{4} \implies -\frac{1}{4} < a \le 0$. В этом случае два корня.
• Если прямая расположена ниже прямой, проходящей через начало координат (то есть $-a < 0 \implies a > 0$), она пересекает график $y=\sqrt{x}$ только в одной точке. В этом случае один корень.

Ответ:

• при $a < -\frac{1}{4}$ корней нет;
• при $a = -\frac{1}{4}$ или $a > 0$ — один корень;
• при $-\frac{1}{4} < a \le 0$ — два корня.

б)

Рассмотрим уравнение $\sqrt{4 - x^2} = x + a$. Число его корней равно числу точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{4 - x^2}$ и $y = x + a$.

График функции $y = \sqrt{4 - x^2}$ получается из уравнения $y^2 = 4 - x^2$, или $x^2 + y^2 = 4$, с условием $y \ge 0$. Это верхняя полуокружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Область определения функции: $x \in [-2, 2]$.

График функции $y = x + a$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=1$. Параметр $a$ является y-перехватом и отвечает за вертикальный сдвиг прямой.

Найдем ключевые положения прямой относительно полуокружности.

1. Прямая проходит через концы полуокружности.

Правый конец — точка $(2, 0)$. Подставляем в уравнение прямой: $0 = 2 + a \implies a = -2$. При $a=-2$ уравнение имеет один корень $x=2$.

Левый конец — точка $(-2, 0)$. Подставляем в уравнение прямой: $0 = -2 + a \implies a = 2$. При $a=2$ уравнение $\sqrt{4-x^2}=x+2$ имеет два корня: $x=-2$ и $x=0$.

2. Прямая касается полуокружности.

Касание произойдет, когда расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $x - y + a = 0$ будет равно радиусу $R=2$.

Используем формулу расстояния от точки до прямой: $d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

$d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + a|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$.

Приравниваем расстояние радиусу: $\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 2 \implies |a| = 2\sqrt{2}$.

Так как мы рассматриваем верхнюю полуокружность, касание возможно только сверху, где $y>0$. Это соответствует прямой $y = x + 2\sqrt{2}$, то есть $a = 2\sqrt{2}$. При этом значении $a$ уравнение имеет один корень. Прямая $y = x - 2\sqrt{2}$ (при $a=-2\sqrt{2}$) касается нижней полуокружности и не имеет общих точек с графиком $y=\sqrt{4-x^2}$.

Проанализируем число корней в зависимости от значения $a$:

• Если $a > 2\sqrt{2}$, прямая лежит выше касательной и не пересекает полуокружность. Корней нет.
• Если $a = 2\sqrt{2}$, прямая касается полуокружности в одной точке. Один корень.
• Если $2 \le a < 2\sqrt{2}$, прямая пересекает полуокружность в двух точках (обе точки имеют $y \ge 0$). Два корня.
• Если $-2 < a < 2$, прямая пересекает полную окружность в двух точках, но только одна из них лежит на верхней полуокружности (имеет $y \ge 0$). Один корень.
• Если $a = -2$, прямая проходит через правую крайнюю точку $(2,0)$. Один корень.
• Если $a < -2$, прямая проходит ниже полуокружности. Корней нет.

Ответ:

• при $a < -2$ или $a > 2\sqrt{2}$ корней нет;
• при $a \in [-2, 2)$ или $a = 2\sqrt{2}$ — один корень;
• при $a \in [2, 2\sqrt{2})$ — два корня.