Номер 34.35, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.35, страница 219.

34.35. При каких значениях $p$ уравнение $|3x + 6| = px + 2$ имеет:

a) один корень;

б) два корня?

Для решения данной задачи с параметром $p$ воспользуемся графическим методом. Исходное уравнение $|3x + 6| = px + 2$ можно представить как равенство двух функций: $y_1 = |3x + 6|$ и $y_2 = px + 2$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

Построим график функции $y_1 = |3x + 6|$. Это V-образный график. Вершина графика находится в точке, где выражение под модулем равно нулю: $3x + 6 = 0$, то есть $x = -2$. Координаты вершины: $(-2, 0)$. График состоит из двух лучей:

• $y = 3x + 6$ при $x \ge -2$ (правый луч с угловым коэффициентом $k=3$).
• $y = -(3x + 6) = -3x - 6$ при $x < -2$ (левый луч с угловым коэффициентом $k=-3$).

График функции $y_2 = px + 2$ — это семейство прямых, проходящих через точку $(0, 2)$ (так как при $x=0$, $y_2=2$ для любого $p$). Параметр $p$ является угловым коэффициентом этих прямых.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества точек пересечения V-образного графика с вершиной в $(-2, 0)$ и прямой, вращающейся вокруг точки $(0, 2)$.

а) один корень

Уравнение имеет один корень, когда прямая $y = px + 2$ и график $y = |3x + 6|$ имеют ровно одну общую точку. Проанализируем различные значения параметра $p$, соответствующие критическим положениям прямой:

• Прямая проходит через вершину графика $y = |3x + 6|$, точку $(-2, 0)$. Подставив координаты в уравнение прямой, получим: $0 = p(-2) + 2$, откуда $-2p = -2$, что дает $p = 1$. При этом значении $p$ имеется ровно одно решение $x=-2$.

• Прямая параллельна одному из лучей. Угловые коэффициенты лучей равны $3$ и $-3$.

  • При $p = -3$, прямая $y = -3x+2$ параллельна левому лучу $y=-3x-6$ и лежит выше него, поэтому не пересекает его. Однако она пересекает правый луч $y=3x+6$ в точке $x=-2/3$ (так как $-3x+2=3x+6 \implies 6x=-4$), что дает один корень.

  • При $p = 3$, прямая $y = 3x+2$ параллельна правому лучу $y=3x+6$ и лежит ниже него, не пересекая его. С левым лучом она также не имеет пересечений в его области определения ($x<-2$). Поэтому при $p=3$ корней нет.

Рассматривая интервалы между критическими значениями и за их пределами:

• При $p < -3$, прямая (например, $y=-4x+2$) пересекает только правый луч. Один корень.

• При $p > 3$, прямая (например, $y=4x+2$) пересекает только правый луч. Один корень.

Суммируя все случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $p=1$, а также при $p \le -3$ и $p > 3$.

Ответ: $p \in (-\infty, -3] \cup \{1\} \cup (3, \infty)$.

б) два корня

Уравнение имеет два корня, когда прямая $y = px + 2$ пересекает график $y = |3x + 6|$ в двух различных точках. Это происходит, когда прямая пересекает оба луча V-образного графика.

Из графического анализа следует, что такая ситуация возникает, когда наклон прямой $p$ находится в интервале между наклоном прямой, параллельной левому лучу ($p=-3$), и наклоном прямой, проходящей через вершину ($p=1$).

Когда $p$ становится равным $-3$, одна из точек пересечения "уходит на бесконечность" (прямая становится параллельной левому лучу), и остается один корень. Когда $p$ становится равным $1$, две точки пересечения сливаются в одну (в вершине), и также остается один корень.

Следовательно, два корня существуют при $-3 < p < 1$.

Ответ: $p \in (-3, 1)$.