Номер 34.33, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.33, страница 219.

34.33. При каких значениях $a$:

а) уравнение $x^4 - 8x^2 + 4 = a$ не имеет корней;

б) уравнение $3x^4 + 4x^3 - 12x^2 = a$ имеет не менее трёх корней?

а)

Рассмотрим уравнение $x^4 - 8x^2 + 4 = a$. Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 4$ и горизонтальной прямой $y=a$. Уравнение не имеет корней, если прямая $y=a$ не пересекает график функции $f(x)$, то есть когда значение $a$ меньше глобального минимума функции $f(x)$.

Для нахождения минимума функции исследуем ее с помощью производной.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 4)' = 4x^3 - 16x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x^3 - 16x = 0$
$4x(x^2 - 4) = 0$
$4x(x - 2)(x + 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Вычислим значения функции в этих точках:
$f(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 4 = 4$
$f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 4 = 16 - 32 + 4 = -12$
$f(-2) = (-2)^4 - 8 \cdot (-2)^2 + 4 = 16 - 32 + 4 = -12$

Поскольку старший коэффициент многочлена положителен, ветви графика функции направлены вверх, то есть $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$. Следовательно, наименьшее значение, которое принимает функция, равно $-12$. Это глобальный минимум функции.

Таким образом, уравнение $f(x) = a$ не имеет корней, если прямая $y=a$ проходит ниже минимального значения функции, то есть при $a < -12$.

Ответ: $a \in (-\infty; -12)$.

б)

Рассмотрим уравнение $3x^4 + 4x^3 - 12x^2 = a$. Чтобы найти, при каких значениях $a$ это уравнение имеет не менее трёх корней, исследуем функцию $g(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2$. Количество корней уравнения равно числу точек пересечения графика функции $y = g(x)$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Найдем точки экстремума функции $g(x)$ с помощью производной.

$g'(x) = (3x^4 + 4x^3 - 12x^2)' = 12x^3 + 12x^2 - 24x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$12x^3 + 12x^2 - 24x = 0$
$12x(x^2 + x - 2) = 0$
$12x(x + 2)(x - 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Найдем значения функции в этих точках (значения в экстремумах):
$g(-2) = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 - 12(-2)^2 = 3 \cdot 16 + 4 \cdot (-8) - 12 \cdot 4 = 48 - 32 - 48 = -32$.
$g(0) = 3 \cdot 0^4 + 4 \cdot 0^3 - 12 \cdot 0^2 = 0$.
$g(1) = 3 \cdot 1^4 + 4 \cdot 1^3 - 12 \cdot 1^2 = 3 + 4 - 12 = -5$.

Так как старший коэффициент многочлена положителен, $\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = +\infty$. На основе найденных значений можно сделать вывод о поведении графика функции. Функция имеет локальные минимумы в точках $x=-2$ (значение $-32$) и $x=1$ (значение $-5$), и локальный максимум в точке $x=0$ (значение $0$).

Проанализируем количество корней уравнения $g(x) = a$ в зависимости от значения $a$:
- Если $a > 0$, уравнение имеет 2 корня.
- Если $a = 0$, уравнение имеет 3 различных корня.
- Если $-5 < a < 0$, уравнение имеет 4 различных корня.
- Если $a = -5$, уравнение имеет 3 различных корня.
- Если $-32 < a < -5$, уравнение имеет 2 корня.
- Если $a = -32$, уравнение имеет 1 корень (кратности 2).
- Если $a < -32$, уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение имеет не менее трёх корней, когда прямая $y=a$ пересекает график в трёх или четырёх точках. Это происходит при $a=0$ (3 корня), при $-5 < a < 0$ (4 корня) и при $a=-5$ (3 корня).

Объединяя эти случаи, получаем, что условие выполняется для всех $a$ из промежутка $[-5, 0]$.

Ответ: $a \in [-5; 0]$.