Номер 34.38, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.38, страница 219.

34.38. При каких значениях $a$:

a) в уравнении $(x - a)^2 - 12|x - a| + 35 = 0$ число отрицательных корней равно числу положительных корней;

б) в уравнении $(x + a)^2 - 6|x + a| + 8 = 0$ число положительных корней больше числа отрицательных корней?

а)

Рассмотрим уравнение $(x - a)^2 - 12|x - a| + 35 = 0$.

Поскольку $(x - a)^2 = |x - a|^2$, мы можем сделать замену переменной. Пусть $y = |x - a|$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 12y + 35 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета или через дискриминант. Корни равны $y_1 = 5$ и $y_2 = 7$. Оба корня положительны, что удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Теперь вернемся к переменной $x$:

1) $|x - a| = 5 \implies x - a = \pm 5 \implies x = a \pm 5$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = a - 5$ и $x_2 = a + 5$.

2) $|x - a| = 7 \implies x - a = \pm 7 \implies x = a \pm 7$. Отсюда получаем еще два корня: $x_3 = a - 7$ и $x_4 = a + 7$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре различных корня: $a - 7$, $a - 5$, $a + 5$, $a + 7$.

По условию задачи, число отрицательных корней должно быть равно числу положительных корней. Так как всего 4 корня, то должно быть 2 отрицательных и 2 положительных корня. Это также означает, что ни один из корней не должен быть равен нулю.

Расположим корни в порядке возрастания: $a - 7 < a - 5 < a + 5 < a + 7$.

Чтобы ровно два корня были отрицательными и два — положительными, необходимо, чтобы второй по величине корень был отрицательным, а третий — положительным:

$\begin{cases} a - 5 < 0 \\ a + 5 > 0 \end{cases}$

Решая эту систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} a < 5 \\ a > -5 \end{cases} \implies -5 < a < 5$.

При $a$, принадлежащем этому интервалу, корни $a - 7$ и $a - 5$ отрицательны, а корни $a + 5$ и $a + 7$ положительны. Если $a = \pm 5$ или $a = \pm 7$, один из корней обращается в ноль, и условие равенства числа положительных и отрицательных корней не выполняется.

Ответ: $a \in (-5; 5)$.

б)

Рассмотрим уравнение $(x + a)^2 - 6|x + a| + 8 = 0$.

Сделаем замену $z = |x + a|$, где $z \ge 0$. Учитывая, что $(x+a)^2 = |x+a|^2$, получаем квадратное уравнение:

$z^2 - 6z + 8 = 0$

Корни этого уравнения: $z_1 = 2$ и $z_2 = 4$. Оба корня положительны.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $|x + a| = 2 \implies x + a = \pm 2 \implies x = -a \pm 2$. Корни: $x = -a - 2$ и $x = -a + 2$.

2) $|x + a| = 4 \implies x + a = \pm 4 \implies x = -a \pm 4$. Корни: $x = -a - 4$ и $x = -a + 4$.

Итак, мы имеем четыре различных корня. Расположим их в порядке возрастания:

$x_{(1)} = -a - 4$, $x_{(2)} = -a - 2$, $x_{(3)} = -a + 2$, $x_{(4)} = -a + 4$.

По условию, число положительных корней ($N_+$) должно быть больше числа отрицательных корней ($N_-$). Проанализируем знаки корней в зависимости от параметра $a$. Знаки корней меняются в точках, где они обращаются в ноль:

$x_{(1)} = 0 \implies a = -4$

$x_{(2)} = 0 \implies a = -2$

$x_{(3)} = 0 \implies a = 2$

$x_{(4)} = 0 \implies a = 4$

Рассмотрим интервалы, на которые эти точки разбивают числовую ось:

• При $a < -4$: все четыре корня положительны. $N_+ = 4$, $N_- = 0$. Условие $4 > 0$ выполняется.
• При $a = -4$: корни $0, 2, 6, 8$. $N_+ = 3$, $N_- = 0$. Условие $3 > 0$ выполняется.
• При $-4 < a < -2$: один корень ($-a-4$) отрицательный, три — положительные. $N_+ = 3$, $N_- = 1$. Условие $3 > 1$ выполняется.
• При $a = -2$: корни $-2, 0, 4, 6$. $N_+ = 2$, $N_- = 1$. Условие $2 > 1$ выполняется.
• При $-2 < a < 2$: два корня ($-a-4, -a-2$) отрицательные, два — положительные. $N_+ = 2$, $N_- = 2$. Условие $2 > 2$ не выполняется.
• При $a \ge 2$: число отрицательных корней становится не меньше числа положительных. $N_+ \le N_-$.

Объединяя все значения $a$, при которых условие $N_+ > N_-$ выполняется, получаем:

$a \in (-\infty; -4) \cup \{-4\} \cup (-4; -2) \cup \{-2\}$, что соответствует промежутку $(-\infty; -2]$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2]$.