Номер 34.42, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.42, страница 220.

34.42. При каких значениях параметра $a$ система уравнений $\begin{cases} ax^2 + a - 1 = y - |\sin x| \\ |\operatorname{tg} x| + |y| = 1 \end{cases}$ имеет единственное решение?

Заданная система уравнений:

$ \begin{cases} ax^2 + a - 1 = y - |\sin x| \\ |\tg x| + |y| = 1 \end{cases} $

Проанализируем систему на предмет четности. Функции $f_1(x) = x^2$, $f_2(x) = |\sin x|$ и $f_3(x) = |\tg x|$ являются четными, так как $f(-x) = f(x)$ для любой из них.

Перепишем первое уравнение в виде $y = ax^2 + |\sin x| + a - 1$.

Пусть пара $(x_0, y_0)$ является решением системы. Проверим, будет ли пара $(-x_0, y_0)$ также являться решением.

Подставим $(-x_0, y_0)$ в первое уравнение: $a(-x_0)^2 + a - 1 = y_0 - |\sin(-x_0)|$ $ax_0^2 + a - 1 = y_0 - |-\sin x_0|$ $ax_0^2 + a - 1 = y_0 - |\sin x_0|$ Это уравнение совпадает с исходным для пары $(x_0, y_0)$, значит, оно выполняется.

Подставим $(-x_0, y_0)$ во второе уравнение: $|\tg(-x_0)| + |y_0| = 1$ $|-\tg x_0| + |y_0| = 1$ $|\tg x_0| + |y_0| = 1$ Это уравнение также совпадает с исходным для пары $(x_0, y_0)$ и, следовательно, выполняется.

Таким образом, если $(x_0, y_0)$ — решение системы и $x_0 \neq 0$, то $(-x_0, y_0)$ — также решение системы. В этом случае система будет иметь как минимум два решения.

Для того чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы для этого решения выполнялось условие $x_0 = -x_0$, то есть $x_0 = 0$.

Найдем, при каких значениях параметра $a$ возможно существование решения с $x=0$. Подставим $x=0$ в систему уравнений:

$ \begin{cases} a(0)^2 + a - 1 = y - |\sin 0| \\ |\tg 0| + |y| = 1 \end{cases} $

Упрощая, получаем:

$ \begin{cases} a - 1 = y \\ |y| = 1 \end{cases} $

Из этой системы следует, что $|a-1| = 1$. Это уравнение имеет два решения: $a - 1 = 1 \implies a = 2$ или $a - 1 = -1 \implies a = 0$.

Мы нашли необходимые условия для параметра $a$. Теперь нужно проверить, является ли это условие достаточным, то есть действительно ли при этих значениях $a$ система будет иметь единственное решение.

Случай 1: $a=0$

При $a=0$ система принимает вид: $ \begin{cases} -1 = y - |\sin x| \\ |\tg x| + |y| = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = |\sin x| - 1$. Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение: $|\tg x| + | |\sin x| - 1 | = 1$.

Поскольку $0 \le |\sin x| \le 1$, выражение $|\sin x| - 1$ всегда будет неположительным ($|\sin x| - 1 \le 0$). Следовательно, $||\sin x| - 1| = - (|\sin x| - 1) = 1 - |\sin x|$.

Уравнение принимает вид: $|\tg x| + 1 - |\sin x| = 1$, откуда $|\tg x| = |\sin x|$.

Решим это уравнение. Учитывая, что $|\tg x| = \frac{|\sin x|}{|\cos x|}$ (при условии $\cos x \neq 0$), получаем $\frac{|\sin x|}{|\cos x|} = |\sin x|$.

Это равенство может выполняться в двух случаях. Первый случай: $|\sin x| = 0$. Это происходит при $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\cos x = \pm 1 \neq 0$, так что $\tg x$ определен и равен 0. Равенство $0=0$ выполняется. Второй случай: $|\sin x| \neq 0$. Тогда можно разделить обе части на $|\sin x|$ и получить $\frac{1}{|\cos x|} = 1$, что означает $|\cos x| = 1$. Это, в свою очередь, означает, что $\sin x = 0$, что возвращает нас к первому случаю.

Таким образом, решениями уравнения $|\tg x| = |\sin x|$ являются все $x = k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Для каждого такого $x$ мы можем найти $y$: $y = |\sin(k\pi)| - 1 = 0 - 1 = -1$. Система имеет бесконечное множество решений вида $(k\pi, -1)$ для любого целого $k$. Например, $(0, -1)$, $(\pi, -1)$, $(2\pi, -1)$, и т.д. Следовательно, значение $a=0$ не подходит.

Случай 2: $a=2$

При $a=2$ система принимает вид: $ \begin{cases} 2x^2 + 2 - 1 = y - |\sin x| \\ |\tg x| + |y| = 1 \end{cases} $

Упростим первое уравнение: $y = 2x^2 + |\sin x| + 1$.

Проанализируем это выражение для $y$. Так как $x^2 \ge 0$ и $|\sin x| \ge 0$, то $y = 2x^2 + |\sin x| + 1 \ge 2(0) + 0 + 1 = 1$. Итак, $y \ge 1$. Это означает, что $y$ всегда положителен, и $|y| = y$.

Подставим $|y|=y$ во второе уравнение системы: $|\tg x| + y = 1$, откуда $y = 1 - |\tg x|$.

Теперь у нас есть два выражения для $y$, приравняем их: $2x^2 + |\sin x| + 1 = 1 - |\tg x|$ $2x^2 + |\sin x| + |\tg x| = 0$

Рассмотрим слагаемые в левой части уравнения. Слагаемое $2x^2 \ge 0$, причем равенство нулю достигается только при $x=0$. Слагаемое $|\sin x| \ge 0$, причем равенство нулю достигается при $x=k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Слагаемое $|\tg x| \ge 0$, причем равенство нулю достигается при $x=k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ (где $\tg x$ определен). Сумма трех неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.

$ \begin{cases} 2x^2 = 0 \\ |\sin x| = 0 \\ |\tg x| = 0 \end{cases} $

Единственное значение $x$, которое удовлетворяет всем трем уравнениям одновременно, это $x=0$. Таким образом, при $a=2$ система имеет решения только при $x=0$. Найдем соответствующее значение $y$. Подставим $x=0$ в любое из выражений для $y$: $y = 2(0)^2 + |\sin 0| + 1 = 1$.

Следовательно, при $a=2$ система имеет единственное решение $(0, 1)$.

Ответ: $a=2$.