Номер 34.46, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.46, страница 220.

34.46. Найдите все значения параметра $a$, при которых области определения функции $y = (a^{x+0,5} + a^3 \sqrt{x} - x^{0,5+x \log_x a} - a^{3,5})^{0,5}$ принадлежит лишь одно целое число.

Найдем область определения функции. Она задается системой неравенств, учитывая свойства корней, степенных функций и логарифмов:

$\begin{cases} a^{x+0.5} + a^3 \sqrt{x} - x^{0.5+x \log_x a} - a^{3.5} \ge 0 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \\ a > 0\end{cases}$

Преобразуем сложное выражение $x^{0.5+x \log_x a}$ в первом неравенстве. Воспользуемся свойствами степеней и логарифмов. Напомним, что $n^{\log_n m} = m$.

$x^{0.5+x \log_x a} = x^{0.5} \cdot x^{x \log_x a} = \sqrt{x} \cdot (x^{\log_x a})^x = \sqrt{x} \cdot a^x$.

Подставим это выражение обратно в первое неравенство системы:

$a^{x+0.5} + a^3 \sqrt{x} - \sqrt{x} a^x - a^{3.5} \ge 0$

Запишем степени с дробными показателями как корни и сгруппируем слагаемые:

$a^x \sqrt{a} - \sqrt{x} a^x + a^3 \sqrt{x} - a^3 \sqrt{a} \ge 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$a^x(\sqrt{a} - \sqrt{x}) - a^3(\sqrt{a} - \sqrt{x}) \ge 0$

$(a^x - a^3)(\sqrt{a} - \sqrt{x}) \ge 0$

Произведение двух множителей неотрицательно, когда оба множителя имеют одинаковый знак (оба $\ge 0$ или оба $\le 0$). Рассмотрим три случая для параметра $a$.

1. Случай $a=1$

Неравенство принимает вид $(1^x - 1^3)(\sqrt{1} - \sqrt{x}) \ge 0$, что равносильно $0 \cdot (1 - \sqrt{x}) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верное тождество для всех $x$ из первоначальной области определения. Таким образом, при $a=1$ область определения функции $D(y) = (0, 1) \cup (1, +\infty)$. Этот промежуток содержит бесконечно много целых чисел (2, 3, 4, ...), что не удовлетворяет условию задачи.

2. Случай $0 < a < 1$

В этом случае показательная функция $f(t)=a^t$ является убывающей, а функция $g(t)=\sqrt{t}$ — возрастающей.

Неравенство $(a^x - a^3)(\sqrt{a} - \sqrt{x}) \ge 0$ равносильно совокупности двух систем:

$\begin{cases} a^x - a^3 \ge 0 \\ \sqrt{a} - \sqrt{x} \ge 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} a^x - a^3 \le 0 \\ \sqrt{a} - \sqrt{x} \le 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 3 \\ x \le a \end{cases}$ или $\begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge a \end{cases}$

Так как $0 < a < 1$, то $x \le a$ из первой системы, и $x \ge 3$ из второй.Область определения для $x$ (с учетом $x>0, x \ne 1$): $x \in (0, a] \cup [3, +\infty)$.Интервал $(0, a]$ не содержит целых чисел. Интервал $[3, +\infty)$ содержит бесконечно много целых чисел (3, 4, 5, ...). Следовательно, значения $a \in (0, 1)$ не подходят.

3. Случай $a > 1$

В этом случае показательная функция $f(t)=a^t$ является возрастающей.

Неравенство $(a^x - a^3)(\sqrt{a} - \sqrt{x}) \ge 0$ равносильно совокупности двух систем:

$\begin{cases} a^x - a^3 \ge 0 \\ \sqrt{a} - \sqrt{x} \ge 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} a^x - a^3 \le 0 \\ \sqrt{a} - \sqrt{x} \le 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 3 \\ x \le a \end{cases}$ или $\begin{cases} x \le 3 \\ x \ge a \end{cases}$

Решение зависит от взаимного расположения $a$ и $3$.

• Если $1 < a < 3$, то первая система не имеет решений ($x \ge 3$ и $x \le a < 3$ одновременно невыполнимы), а вторая дает $a \le x \le 3$. Таким образом, область определения $x \in [a, 3]$. Чтобы в этом отрезке было ровно одно целое число, необходимо, чтобы это число было $3$. Это произойдет, если отрезок будет содержать $3$, но не будет содержать $2$. То есть $2 < a \le 3$. При $a=3$ отрезок вырождается в точку $\{3\}$, что нас устраивает. При $a \in (1, 2]$ в отрезок $[a, 3]$ попадают целые числа $2$ и $3$, что не подходит. Значит, для этого случая подходит $a \in (2, 3]$.
• Если $a=3$, то неравенство принимает вид $(3^x - 3^3)(\sqrt{3} - \sqrt{x}) \ge 0$. Решением является $x=3$. Область определения состоит из одного числа $x=3$, которое является целым. Это удовлетворяет условию.
• Если $a > 3$, то вторая система не имеет решений ($x \le 3$ и $x \ge a > 3$ невыполнимы), а первая дает $3 \le x \le a$. Таким образом, область определения $x \in [3, a]$. Чтобы в этом отрезке было ровно одно целое число, необходимо, чтобы это число было $3$. Это произойдет, если отрезок будет содержать $3$, но не будет содержать $4$. То есть $3 \le 3$ (верно) и $a < 4$. Значит, для этого случая подходит $a \in (3, 4)$.

Объединим все найденные решения для $a > 1$: $a \in (2, 3] \cup (3, 4)$. Это дает нам интервал $a \in (2, 4)$.

Ответ: $a \in (2, 4)$