Номер 34.24, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.24, страница 218.

34.24. Решите неравенство (относительно x):

$(a - 1)x^2 + 2(2a + 1)x + 4a + 3 \leq 0.$

Для решения неравенства $(a-1)x^2 + 2(2a+1)x + 4a+3 \le 0$ относительно $x$, необходимо рассмотреть несколько случаев в зависимости от значения параметра $a$.

Сначала рассмотрим случай, когда неравенство является линейным, а затем — когда оно квадратное. Для квадратного неравенства вида $Ax^2+Bx+C \le 0$ решение зависит от знака старшего коэффициента $A$ и дискриминанта $D$.

В нашем случае $A = a-1$, $B = 2(2a+1)$, $C = 4a+3$. Вычислим четверть дискриминанта ($D/4$):

$D/4 = (2a+1)^2 - (a-1)(4a+3) = (4a^2+4a+1) - (4a^2+3a-4a-3) = 4a^2+4a+1 - (4a^2-a-3) = 5a+4$.

Корни квадратного уравнения $(a-1)x^2 + 2(2a+1)x + 4a+3 = 0$ (если они существуют) равны $x_{1,2} = \frac{-(2a+1) \pm \sqrt{5a+4}}{a-1}$.

Рассмотрим решения для различных интервалов значений $a$.

При $a \le -4/5$

В этом случае старший коэффициент $a-1 < -4/5 - 1 = -9/5 < 0$, следовательно, ветви параболы $y=(a-1)x^2 + 2(2a+1)x + 4a+3$ направлены вниз. Дискриминант $D/4 = 5a+4 \le 0$. Это означает, что парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс (при $D/4<0$) или касается ее в одной точке (при $D/4=0$). В обоих случаях парабола целиком лежит не выше оси абсцисс. Таким образом, неравенство $f(x) \le 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

При $-4/5 < a < 1$

Старший коэффициент $a-1 < 0$ (ветви параболы направлены вниз). Дискриминант $D/4 = 5a+4 > 0$, следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в двух различных точках. Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется для значений $x$ вне отрезка между корнями. Корни равны $x_{1,2} = \frac{-2a-1 \pm \sqrt{5a+4}}{a-1}$. Так как знаменатель $a-1$ отрицателен, меньшим корнем будет тот, у которого в числителе знак "плюс" перед корнем, а большим — тот, у которого "минус".

Меньший корень: $x_1 = \frac{-2a-1 + \sqrt{5a+4}}{a-1}$.

Больший корень: $x_2 = \frac{-2a-1 - \sqrt{5a+4}}{a-1}$.

Решение представляет собой объединение двух лучей.

Ответ: $x \in \left(-\infty, \frac{-2a-1 + \sqrt{5a+4}}{a-1}\right] \cup \left[\frac{-2a-1 - \sqrt{5a+4}}{a-1}, +\infty\right)$.

При $a=1$

Коэффициент при $x^2$ равен нулю, и неравенство становится линейным:

$(1-1)x^2 + 2(2 \cdot 1+1)x + 4 \cdot 1 + 3 \le 0$

$6x + 7 \le 0$

$6x \le -7$

$x \le -7/6$

Ответ: $x \in (-\infty, -7/6]$.

При $a > 1$

Старший коэффициент $a-1 > 0$ (ветви параболы направлены вверх). Дискриминант $D/4 = 5a+4 > 5(1)+4=9 > 0$, так что всегда есть два различных корня. Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется для значений $x$ на отрезке между корнями. Так как знаменатель $a-1$ положителен, меньший корень имеет в числителе знак "минус" перед корнем, а больший — "плюс".

Меньший корень: $x_1 = \frac{-2a-1 - \sqrt{5a+4}}{a-1}$.

Больший корень: $x_2 = \frac{-2a-1 + \sqrt{5a+4}}{a-1}$.

Решение — это отрезок между корнями.

Ответ: $x \in \left[ \frac{-2a-1 - \sqrt{5a+4}}{a-1}, \frac{-2a-1 + \sqrt{5a+4}}{a-1} \right]$.