Номер 34.17, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.17, страница 217.

34.17. Определите знаки коэффициентов $a$, $b$, $c$, если известно, что график функции $y = ax^2 + bx + c$ проходит через заданные точки:

a) (-4; 0), (0; -2), (-3; -2);

б) (0; $\sqrt{3} + 1$), (-1,7; 0), (3,3; $\sqrt{3} + 1$).

а)

1. Определение знака коэффициента $c$.
Коэффициент $c$ в уравнении параболы $y = ax^2 + bx + c$ представляет собой ординату точки пересечения графика с осью $y$. Нам дана точка $(0; -2)$, через которую проходит график. Подставив $x = 0$ в уравнение функции, получаем: $y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Следовательно, $c = -2$. Так как $-2 < 0$, то коэффициент $c$ отрицательный.

2. Определение знака коэффициента $a$.
График функции проходит через точки $(0; -2)$ и $(-3; -2)$. Эти точки симметричны относительно оси параболы, так как у них одинаковая ордината. Абсцисса вершины параболы $x_в$ находится посередине между абсциссами этих точек: $x_в = \frac{0 + (-3)}{2} = -1.5$. Также известно, что график проходит через точку $(-4; 0)$. Ордината этой точки ($y=0$) больше, чем ордината точек $(0; -2)$ и $(-3; -2)$ (где $y=-2$). Это означает, что ветви параболы направлены вверх, так как существуют точки на параболе, которые лежат выше точек, определяющих положение вершины. Если ветви параболы направлены вверх, то старший коэффициент $a$ положителен.

3. Определение знака коэффициента $b$.
Абсцисса вершины параболы связана с коэффициентами $a$ и $b$ формулой $x_в = -\frac{b}{2a}$. Мы уже определили, что $x_в = -1.5$ и $a > 0$. Подставим известные данные в формулу: $-1.5 = -\frac{b}{2a}$ $1.5 = \frac{b}{2a}$ Поскольку $a > 0$, знаменатель $2a$ также положителен. Чтобы дробь была положительной, числитель $b$ должен быть того же знака, что и знаменатель. Следовательно, $b > 0$.

Ответ: $a > 0, b > 0, c < 0$.

б)

1. Определение знака коэффициента $c$.
График проходит через точку $(0; \sqrt{3} + 1)$. Подставив $x = 0$ в уравнение функции $y = ax^2 + bx + c$, получаем: $y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Следовательно, $c = \sqrt{3} + 1$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $c \approx 2.732 > 0$. Коэффициент $c$ положителен.

2. Определение знака коэффициента $a$.
График функции проходит через точки $(0; \sqrt{3} + 1)$ и $(3.3; \sqrt{3} + 1)$. У этих точек одинаковая ордината, поэтому абсцисса вершины параболы $x_в$ находится посередине: $x_в = \frac{0 + 3.3}{2} = 1.65$. Известно, что график также проходит через точку $(-1.7; 0)$. Ордината этой точки ($y=0$) меньше, чем ордината точек $(0; \sqrt{3} + 1)$ и $(3.3; \sqrt{3} + 1)$ (где $y=\sqrt{3} + 1 > 0$). Это означает, что ветви параболы направлены вниз, так как существуют точки на параболе, которые лежат ниже точек, определяющих положение вершины. Если ветви параболы направлены вниз, то старший коэффициент $a$ отрицателен.

3. Определение знака коэффициента $b$.
Используем формулу для абсциссы вершины $x_в = -\frac{b}{2a}$. Мы нашли, что $x_в = 1.65$ и $a < 0$. Подставим эти значения: $1.65 = -\frac{b}{2a}$ Так как $x_в = 1.65 > 0$, то и выражение $-\frac{b}{2a}$ должно быть положительным. Поскольку $a < 0$, знаменатель $2a$ отрицателен. Чтобы вся дробь $-\frac{b}{2a}$ была положительной, числитель $-b$ должен иметь противоположный знак по отношению к знаменателю $2a$. Значит, $-b$ должен быть положительным. Если $-b > 0$, то $b < 0$. Проверим еще раз: $1.65 = \frac{-b}{2a}$. Знаменатель $2a < 0$. Чтобы частное было положительным, числитель $-b$ тоже должен быть отрицательным: $-b < 0$, откуда $b > 0$. Следовательно, $b$ положителен.

Ответ: $a < 0, b > 0, c > 0$.