Номер 34.13, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.13, страница 217.

34.13. При каком значении $a$:

a) прямая $y = 6x + a$ касается графика функции $y = x^2$;

б) прямая $y = 4x$ имеет только одну общую точку с графиком функции $y = x^2 + a$?

а)

Чтобы прямая $y = 6x + a$ касалась графика функции $y = x^2$, система уравнений, описывающая их пересечение, должна иметь ровно одно решение. Это означает, что графики имеют одну общую точку.

Приравняем выражения для $y$, чтобы найти точки пересечения:

$x^2 = 6x + a$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - a = 0$

Квадратное уравнение имеет ровно один корень, когда его дискриминант ($D$) равен нулю. Дискриминант для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

В нашем случае коэффициенты равны: $A = 1$, $B = -6$, $C = -a$.

Найдем дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 36 + 4a$

Приравняем дискриминант к нулю:

$36 + 4a = 0$

$4a = -36$

$a = \frac{-36}{4} = -9$

Таким образом, при $a = -9$ прямая и парабола имеют одну точку касания.

Ответ: $a = -9$.

б)

Чтобы прямая $y = 4x$ имела только одну общую точку с графиком функции $y = x^2 + a$, соответствующее квадратное уравнение должно иметь один корень.

Приравняем выражения для $y$:

$x^2 + a = 4x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 4x + a = 0$

Условие единственного решения — равенство дискриминанта нулю ($D=0$).

Коэффициенты этого уравнения: $A = 1$, $B = -4$, $C = a$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$

Приравняем дискриминант к нулю:

$16 - 4a = 0$

$4a = 16$

$a = \frac{16}{4} = 4$

Следовательно, при $a = 4$ прямая и парабола имеют ровно одну общую точку.

Ответ: $a = 4$.