Номер 34.16, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.16, страница 217.

34.16. При каких значениях $a$:

а) вершина параболы $y = (3a + 1)x^2 + 2x - 5$ принадлежит четвёртой координатной четверти;

б) вершина параболы $y = 3x^2 + (4a - 1)x + 3$ принадлежит первой координатной четверти (координатные оси не принадлежат координатным четвертям)?

а)

Уравнение параболы: $y = (3a + 1)x^2 + 2x - 5$. Для того чтобы данное уравнение было уравнением параболы, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю, то есть $3a + 1 \neq 0$, откуда $a \neq -1/3$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ для квадратичной функции $y = Ax^2+Bx+C$ определяются по формулам: $x_v = - \frac{B}{2A}$ и $y_v = y(x_v)$. В нашем случае коэффициенты: $A = 3a + 1$, $B = 2$, $C = -5$.

Находим абсциссу вершины: $x_v = - \frac{2}{2(3a + 1)} = - \frac{1}{3a + 1}$.

Находим ординату вершины, подставляя $x_v$ в уравнение параболы: $y_v = (3a + 1) \left( - \frac{1}{3a + 1} \right)^2 + 2 \left( - \frac{1}{3a + 1} \right) - 5$ $y_v = (3a + 1) \frac{1}{(3a + 1)^2} - \frac{2}{3a + 1} - 5 = \frac{1}{3a + 1} - \frac{2}{3a + 1} - 5 = - \frac{1}{3a + 1} - 5$.

Вершина параболы принадлежит четвёртой координатной четверти, если её координаты удовлетворяют условиям: $x_v > 0$ и $y_v < 0$. Получаем систему неравенств: $$ \begin{cases} - \frac{1}{3a + 1} > 0 \\ - \frac{1}{3a + 1} - 5 < 0 \end{cases} $$

Решаем первое неравенство: $- \frac{1}{3a + 1} > 0 \implies \frac{1}{3a + 1} < 0$. Дробь отрицательна, когда знаменатель отрицателен (так как числитель 1 положителен). $3a + 1 < 0 \implies 3a < -1 \implies a < - \frac{1}{3}$.

Решаем второе неравенство: $- \frac{1}{3a + 1} - 5 < 0 \implies - \frac{1}{3a + 1} < 5$. Так как из первого неравенства мы знаем, что $3a + 1 < 0$, то при умножении обеих частей неравенства на $(3a+1)$ знак неравенства меняется на противоположный: $-1 > 5(3a + 1)$ $-1 > 15a + 5$ $-6 > 15a$ $15a < -6$ $a < - \frac{6}{15} \implies a < - \frac{2}{5}$.

Находим пересечение решений двух неравенств: $a < -1/3$ и $a < -2/5$. Сравним дроби: $-2/5 = -0.4$, а $-1/3 \approx -0.333$. Следовательно, $-2/5 < -1/3$. Условие $a < -2/5$ является более строгим. Пересечением является интервал $a \in (-\infty, -2/5)$. Это решение также удовлетворяет исходному условию $a \neq -1/3$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2/5)$.

б)

Уравнение параболы: $y = 3x^2 + (4a - 1)x + 3$. Коэффициент при $x^2$ равен 3, он отличен от нуля, поэтому это уравнение задает параболу при любом значении $a$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Коэффициенты: $A = 3$, $B = 4a - 1$, $C = 3$.

Находим абсциссу вершины: $x_v = - \frac{B}{2A} = - \frac{4a - 1}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 4a}{6}$.

Находим ординату вершины по формуле $y_v = \frac{4AC - B^2}{4A}$: $y_v = \frac{4 \cdot 3 \cdot 3 - (4a - 1)^2}{4 \cdot 3} = \frac{36 - (16a^2 - 8a + 1)}{12} = \frac{36 - 16a^2 + 8a - 1}{12} = \frac{-16a^2 + 8a + 35}{12}$.

Вершина параболы принадлежит первой координатной четверти, если $x_v > 0$ и $y_v > 0$ (по условию, координатные оси не принадлежат четвертям, поэтому неравенства строгие). Получаем систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{1 - 4a}{6} > 0 \\ \frac{-16a^2 + 8a + 35}{12} > 0 \end{cases} $$

Решаем первое неравенство: $\frac{1 - 4a}{6} > 0 \implies 1 - 4a > 0 \implies 1 > 4a \implies a < \frac{1}{4}$.

Решаем второе неравенство: $\frac{-16a^2 + 8a + 35}{12} > 0 \implies -16a^2 + 8a + 35 > 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $16a^2 - 8a - 35 < 0$. Найдем корни квадратного уравнения $16a^2 - 8a - 35 = 0$. Дискриминант $D = B^2 - 4AC = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-35) = 64 + 2240 = 2304 = 48^2$. Корни: $a_1 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{8 - 48}{2 \cdot 16} = \frac{-40}{32} = - \frac{5}{4}$. $a_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{8 + 48}{2 \cdot 16} = \frac{56}{32} = \frac{7}{4}$. Поскольку ветви параболы $f(a) = 16a^2 - 8a - 35$ направлены вверх, неравенство $16a^2 - 8a - 35 < 0$ выполняется для значений $a$, находящихся между корнями: $- \frac{5}{4} < a < \frac{7}{4}$.

Теперь необходимо найти пересечение решений системы: $$ \begin{cases} a < \frac{1}{4} \\ - \frac{5}{4} < a < \frac{7}{4} \end{cases} $$ Объединяя эти два условия, получаем итоговый интервал: $- \frac{5}{4} < a < \frac{1}{4}$.

Ответ: $a \in (-5/4; 1/4)$.