Номер 34.18, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.18, страница 217.

34.18. При каких значениях $a$ неравенство $ax^2 + 4x - 3 + a > 0$:

a) выполняется при любых $x$;

б) не имеет решений?

Рассмотрим неравенство $ax^2 + 4x - 3 + a > 0$. Его вид зависит от параметра $a$. Если $a=0$, неравенство является линейным. Если $a \ne 0$, оно является квадратным.

а) выполняется при любых x

Чтобы неравенство выполнялось для любого значения $x$, необходимо рассмотреть два случая.

1. Случай, когда $a = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 + 4x - 3 + 0 > 0$, что упрощается до $4x - 3 > 0$. Решением этого линейного неравенства является $x > \frac{3}{4}$. Так как это условие выполняется не для всех действительных чисел $x$, значение $a=0$ не является решением задачи.

2. Случай, когда $a \ne 0$. В этом случае левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $f(x) = ax^2 + 4x + a - 3$. Чтобы неравенство $f(x) > 0$ выполнялось для всех $x$, график этой функции (парабола) должен быть полностью расположен над осью абсцисс. Это возможно только при одновременном выполнении двух условий:
- ветви параболы должны быть направлены вверх, что означает, что старший коэффициент должен быть положителен: $a > 0$;
- парабола не должна пересекать ось абсцисс, то есть соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + 4x + a - 3 = 0$ не должно иметь действительных корней. Это означает, что его дискриминант $D$ должен быть строго отрицательным: $D < 0$.

Вычислим дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot a \cdot (a - 3) = 16 - 4a^2 + 12a = -4a^2 + 12a + 16$.

Таким образом, мы приходим к системе неравенств: $\begin{cases} a > 0 \\ -4a^2 + 12a + 16 < 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы. Разделим обе его части на $-4$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $a^2 - 3a - 4 > 0$.

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего уравнения $a^2 - 3a - 4 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $a_1 = 4$ и $a_2 = -1$. Поскольку парабола $y = a^2 - 3a - 4$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $a^2 - 3a - 4 > 0$ выполняется, когда $a$ находится вне интервала между корнями, то есть $a \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.

Теперь найдем решение исходной системы, для чего найдем пересечение полученного множества с условием $a > 0$:
$a \in \left( (-\infty, -1) \cup (4, \infty) \right) \cap (0, \infty)$.
Пересечением является интервал $(4, \infty)$.

Ответ: $a \in (4, \infty)$.

б) не имеет решений

Неравенство $ax^2 + 4x + a - 3 > 0$ не имеет решений тогда и только тогда, когда для всех $x$ выполняется противоположное по знаку неравенство $ax^2 + 4x + a - 3 \le 0$.

1. Случай, когда $a = 0$. Как было показано выше, неравенство $4x - 3 > 0$ имеет решения ($x > 3/4$). Следовательно, утверждение "не имеет решений" для этого случая неверно. Значит, $a=0$ не подходит.

2. Случай, когда $a \ne 0$. Чтобы парабола $f(x) = ax^2 + 4x + a - 3$ была целиком расположена не выше оси абсцисс (то есть $f(x) \le 0$ для всех $x$), необходимо и достаточно выполнение двух условий:
- ветви параболы должны быть направлены вниз, то есть $a < 0$;
- парабола может иметь не более одной общей точки с осью абсцисс (касаться ее или не пересекать вовсе), что означает, что ее дискриминант $D$ должен быть неположительным: $D \le 0$.

Составим и решим систему неравенств, используя вычисленный ранее дискриминант: $\begin{cases} a < 0 \\ -4a^2 + 12a + 16 \le 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство. Разделим на $-4$ и изменим знак на противоположный: $a^2 - 3a - 4 \ge 0$.

Корни уравнения $a^2 - 3a - 4 = 0$ равны $4$ и $-1$. Решением неравенства $a^2 - 3a - 4 \ge 0$ является объединение промежутков $(-\infty, -1] \cup [4, \infty)$.

Найдем решение системы, взяв пересечение полученного множества с условием $a < 0$:
$a \in \left( (-\infty, -1] \cup [4, \infty) \right) \cap (-\infty, 0)$.
Пересечением является промежуток $(-\infty, -1]$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1]$.