Номер 34.19, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.19, страница 218.

34.19. При каких значениях $a$ неравенство $ax^2 + 2ax + 2x + 2a + 2 \leq 0$:

a) выполняется при любых $x$;

б) не имеет решений?

Рассмотрим неравенство $ax^2 + 2ax + 2x + 2a + 2 \le 0$. Сгруппируем слагаемые при степенях $x$, чтобы привести его к стандартному виду квадратичного неравенства: $ax^2 + (2a + 2)x + (2a + 2) \le 0$.

Данное выражение является квадратичным неравенством относительно $x$, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($a \ne 0$), и линейным, если $a = 0$. Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: $a = 0$.
При $a=0$ неравенство становится линейным: $0 \cdot x^2 + (2 \cdot 0 + 2)x + (2 \cdot 0 + 2) \le 0$ $2x + 2 \le 0$ $2x \le -2$ $x \le -1$. В этом случае решение существует (это промежуток $x \in (-\infty; -1]$), но оно не охватывает все действительные числа $x$. Следовательно, значение $a=0$ не подходит ни для пункта а), ни для пункта б).

Случай 2: $a \neq 0$.
В этом случае левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $f(x) = ax^2 + 2(a + 1)x + 2(a + 1)$. Характер неравенства зависит от знака старшего коэффициента $a$ и дискриминанта $D$ квадратного трехчлена. Вычислим дискриминант: $D = (2(a+1))^2 - 4 \cdot a \cdot (2(a+1)) = 4(a+1)^2 - 8a(a+1) = 4(a+1)(a+1 - 2a) = 4(a+1)(1-a)$.

а) выполняется при любых х

Чтобы неравенство $f(x) \le 0$ выполнялось для всех значений $x$, необходимо, чтобы график функции $f(x)$ (парабола) был направлен ветвями вниз и целиком лежал не выше оси абсцисс. Это означает, что старший коэффициент должен быть отрицательным ($a < 0$), а дискриминант — неположительным ($D \le 0$), так как парабола может иметь не более одной общей точки с осью Ox.

Составим и решим систему неравенств: $$ \begin{cases} a < 0 \\ 4(a+1)(1-a) \le 0 \end{cases} $$ Решим второе неравенство: $(a+1)(1-a) \le 0$. Умножив обе части на -1 и изменив знак неравенства, получим: $(a+1)(a-1) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием $a < 0$: $$ \begin{cases} a < 0 \\ a \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \end{cases} $$ Общим решением системы является промежуток $a \le -1$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1]$.

б) не имеет решений

Неравенство $f(x) \le 0$ не имеет решений, если для всех значений $x$ выполняется строгое обратное неравенство: $f(x) > 0$. Чтобы парабола $y = f(x)$ была целиком расположена выше оси абсцисс, необходимо, чтобы ее ветви были направлены вверх ($a > 0$), и при этом она не имела точек пересечения с осью Ox, то есть дискриминант был строго отрицательным ($D < 0$).

Составим и решим систему неравенств: $$ \begin{cases} a > 0 \\ 4(a+1)(1-a) < 0 \end{cases} $$ Решим второе неравенство: $(a+1)(1-a) < 0$. Умножив на -1 и изменив знак, получим: $(a+1)(a-1) > 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием $a > 0$: $$ \begin{cases} a > 0 \\ a \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \end{cases} $$ Общим решением системы является промежуток $a > 1$.
Ответ: $a \in (1; +\infty)$.