Номер 34.12, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.12, страница 217.

34.12. Решите уравнение с параметром $a$:

а) $\frac{x^2 - (a - 1)x - 2a(a + 1)}{x - 3} = 0;$

б) $\frac{x}{a(x + 1)} - \frac{2}{x + 2} = \frac{3 - a^2}{a(x + 1)(x + 2)}.$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - (a - 1)x - 2a(a + 1)}{x - 3} = 0 $.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - (a - 1)x - 2a(a + 1) = 0, \\ x - 3 \neq 0. \end{cases} $

Сначала решим квадратное уравнение $ x^2 - (a - 1)x - 2a(a + 1) = 0 $ относительно $x$.

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:

$ D = (-(a-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a(a+1)) = (a-1)^2 + 8a(a+1) = (a^2 - 2a + 1) + (8a^2 + 8a) = 9a^2 + 6a + 1 = (3a+1)^2 $.

Так как $ D = (3a+1)^2 \ge 0 $ при любом действительном значении $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения по формуле:

$ x = \frac{-(-(a-1)) \pm \sqrt{(3a+1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{a-1 \pm (3a+1)}{2} $.

Отсюда получаем два корня:

$ x_1 = \frac{a-1 + 3a+1}{2} = \frac{4a}{2} = 2a $

$ x_2 = \frac{a-1 - (3a+1)}{2} = \frac{-2a-2}{2} = -a-1 $

Теперь необходимо учесть условие $ x \neq 3 $.

Рассмотрим случаи, когда один из найденных корней равен 3:

1. Корень $ x_1 $ равен 3: $ 2a = 3 \implies a = \frac{3}{2} $.
При $ a = \frac{3}{2} $ корень $ x_1=3 $ является посторонним. Проверим второй корень: $ x_2 = -a-1 = -\frac{3}{2}-1 = -\frac{5}{2} $. Так как $ -\frac{5}{2} \neq 3 $, то при $ a = \frac{3}{2} $ уравнение имеет единственный корень $ x = -\frac{5}{2} $.

2. Корень $ x_2 $ равен 3: $ -a-1 = 3 \implies -a = 4 \implies a = -4 $.
При $ a = -4 $ корень $ x_2=3 $ является посторонним. Проверим второй корень: $ x_1 = 2a = 2(-4) = -8 $. Так как $ -8 \neq 3 $, то при $ a = -4 $ уравнение имеет единственный корень $ x = -8 $.

Если $ a \neq \frac{3}{2} $ и $ a \neq -4 $, то оба корня $ x_1 = 2a $ и $ x_2 = -a-1 $ удовлетворяют условию $ x \neq 3 $ и являются решениями исходного уравнения. (Заметим, что при $ a = -\frac{1}{3} $ корни совпадают: $ x_1 = x_2 = -\frac{2}{3} $).

Ответ:
при $ a = \frac{3}{2} $ $ x = -\frac{5}{2} $;
при $ a = -4 $ $ x = -8 $;
при $ a \in \mathbb{R} \setminus \{-4, \frac{3}{2}\} $ $ x_1 = 2a, x_2 = -a-1 $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{a(x+1)} - \frac{2}{x+2} = \frac{3-a^2}{a(x+1)(x+2)} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $ a \neq 0 $, $ x+1 \neq 0 $ (т.е. $x \neq -1$), и $ x+2 \neq 0 $ (т.е. $x \neq -2$).

Если $ a = 0 $, уравнение не определено, следовательно, решений нет.

При $ a \neq 0 $, $x \neq -1$ и $x \neq -2$ мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель $ a(x+1)(x+2) $, чтобы избавиться от дробей:

$ x(x+2) - 2a(x+1) = 3 - a^2 $

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно $x$:

$ x^2 + 2x - 2ax - 2a = 3 - a^2 $

$ x^2 + (2-2a)x + (a^2 - 2a - 3) = 0 $

Решим это уравнение. Можно использовать формулу для корней с четным вторым коэффициентом $ k = \frac{2-2a}{2} = 1-a $:

$ D_1 = k^2 - ac = (1-a)^2 - 1 \cdot (a^2-2a-3) = 1-2a+a^2 - a^2+2a+3 = 4 $.

$ x = \frac{-(1-a) \pm \sqrt{4}}{1} = a-1 \pm 2 $.

Получаем два корня:

$ x_1 = a-1+2 = a+1 $

$ x_2 = a-1-2 = a-3 $

Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $a$ эти корни нарушают ОДЗ ($ x \neq -1 $ и $ x \neq -2 $).

1. $ x_1 = -1 \implies a+1 = -1 \implies a = -2 $. При $a=-2$ корень $ x_1=-1 $ является посторонним. Второй корень $ x_2 = a-3 = -2-3 = -5 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Значит, при $a=-2$ есть одно решение: $x=-5$.

2. $ x_1 = -2 \implies a+1 = -2 \implies a = -3 $. При $a=-3$ корень $ x_1=-2 $ является посторонним. Второй корень $ x_2 = a-3 = -3-3 = -6 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Значит, при $a=-3$ есть одно решение: $x=-6$.

3. $ x_2 = -1 \implies a-3 = -1 \implies a = 2 $. При $a=2$ корень $ x_2=-1 $ является посторонним. Второй корень $ x_1 = a+1 = 2+1=3 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Значит, при $a=2$ есть одно решение: $x=3$.

4. $ x_2 = -2 \implies a-3 = -2 \implies a = 1 $. При $a=1$ корень $ x_2=-2 $ является посторонним. Второй корень $ x_1 = a+1 = 1+1=2 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Значит, при $a=1$ есть одно решение: $x=2$.

Корни $x_1=a+1$ и $x_2=a-3$ всегда различны. Если $ a $ не принимает ни одно из значений $ \{-3, -2, 0, 1, 2\} $, то оба корня являются решениями.

Ответ:
при $ a = 0 $ решений нет;
при $ a = 1 $ $ x=2 $;
при $ a = 2 $ $ x=3 $;
при $ a = -2 $ $ x=-5 $;
при $ a = -3 $ $ x=-6 $;
при $ a \in \mathbb{R} \setminus \{-3, -2, 0, 1, 2\} $ $ x_1 = a+1, x_2 = a-3 $.