Номер 34.6, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.6, страница 216.

34.6. a) $b^2x - bx \ge b^2 + b - 2;$

б) $\frac{x}{a} + x \le a + 1.$

а) $b^2x - bx \ge b^2 + b - 2$

Это линейное неравенство относительно переменной $x$ с параметром $b$.

Сначала преобразуем неравенство. Вынесем $x$ за скобки в левой части и разложим на множители правую часть:

$x(b^2 - b) \ge (b+2)(b-1)$

$x \cdot b(b-1) \ge (b+2)(b-1)$

Решение неравенства зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $b(b-1)$. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Случай, когда коэффициент при $x$ положителен: $b(b-1) > 0$.

Это условие выполняется, если $b \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$. В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на $b(b-1)$, сохраняя знак неравенства:

$x \ge \frac{(b+2)(b-1)}{b(b-1)}$

Поскольку $b \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(b-1)$:

$x \ge \frac{b+2}{b}$, что равносильно $x \ge 1 + \frac{2}{b}$.

2. Случай, когда коэффициент при $x$ отрицателен: $b(b-1) < 0$.

Это условие выполняется, если $b \in (0, 1)$. В этом случае при делении обеих частей неравенства на $b(b-1)$ знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{(b+2)(b-1)}{b(b-1)}$

$x \le \frac{b+2}{b}$, что равносильно $x \le 1 + \frac{2}{b}$.

3. Случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $b(b-1) = 0$.

Это происходит при $b=0$ или $b=1$. Рассмотрим эти значения параметра отдельно, подставляя их в исходное неравенство $x \cdot b(b-1) \ge (b+2)(b-1)$.

- Если $b=0$:

$x \cdot 0 \cdot (0-1) \ge (0+2)(0-1)$

$0 \ge -2$

Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.

- Если $b=1$:

$x \cdot 1 \cdot (1-1) \ge (1+2)(1-1)$

$0 \ge 0$

Это неравенство также верно для любого действительного числа $x$.

Ответ:

• При $b \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$, решение $x \in [1 + \frac{2}{b}, +\infty)$.
• При $b \in (0, 1)$, решение $x \in (-\infty, 1 + \frac{2}{b}]$.
• При $b = 0$ или $b = 1$, решение $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

б) $\frac{x}{a} + x \le a+1$

Это линейное неравенство относительно переменной $x$ с параметром $a$.

Область допустимых значений параметра $a$: $a \neq 0$, так как на ноль делить нельзя. Случай $a=0$ рассмотрим отдельно.

При $a \neq 0$ преобразуем неравенство. Вынесем $x$ за скобки:

$x(\frac{1}{a} + 1) \le a+1$

$x \cdot \frac{1+a}{a} \le a+1$

Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $\frac{a+1}{a}$.

1. Случай, когда коэффициент при $x$ положителен: $\frac{a+1}{a} > 0$.

Это условие выполняется, если $a \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$. Для решения неравенства умножим обе части на положительное число $\frac{a}{a+1}$ (знак дроби совпадает со знаком исходного коэффициента). Знак неравенства при этом не изменится.

$x \le (a+1) \cdot \frac{a}{a+1}$

$x \le a$

2. Случай, когда коэффициент при $x$ отрицателен: $\frac{a+1}{a} < 0$.

Это условие выполняется, если $a \in (-1, 0)$. В этом случае мы умножаем обе части на отрицательное число $\frac{a}{a+1}$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

$x \ge (a+1) \cdot \frac{a}{a+1}$

$x \ge a$

3. Случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $\frac{a+1}{a} = 0$.

Это происходит при $a+1=0$, то есть $a=-1$. Подставим это значение в исходное неравенство:

$\frac{x}{-1} + x \le -1+1$

$-x + x \le 0$

$0 \le 0$

Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.

4. Случай, когда $a=0$.

В этом случае левая часть исходного неравенства $\frac{x}{a} + x \le a+1$ не определена. Следовательно, при $a=0$ решений нет.

Ответ:

• При $a \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$, решение $x \in (-\infty, a]$.
• При $a \in (-1, 0)$, решение $x \in [a, +\infty)$.
• При $a = -1$, решение $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).
• При $a = 0$, решений нет.