Номер 33.45, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.45, страница 215.

33.45. Три целых числа образуют конечную возрастающую геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 6, то получится конечная арифметическая прогрессия. Если в этой арифметической прогрессии первое и третье числа увеличить на 5, а второе — на 1, то получится геометрическая прогрессия. Найдите три исходных числа.

Пусть исходные три целых числа, образующие конечную возрастающую геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$.Согласно свойству геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению крайних членов:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$ (1)

Так как прогрессия возрастающая, выполняется условие $b_1 < b_2 < b_3$.

По условию, если второе число увеличить на 6, то получится конечная арифметическая прогрессия: $b_1$, $b_2+6$, $b_3$.Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому крайних членов:

$b_2 + 6 = \frac{b_1 + b_3}{2}$

Отсюда получаем второе уравнение:

$b_1 + b_3 = 2(b_2 + 6) = 2b_2 + 12$ (2)

Далее, в этой арифметической прогрессии ($b_1$, $b_2+6$, $b_3$) первое и третье числа увеличивают на 5, а второе — на 1. В результате получаются числа $b_1+5$, $(b_2+6)+1$ и $b_3+5$, то есть $b_1+5$, $b_2+7$, $b_3+5$.Эти новые числа образуют геометрическую прогрессию. Снова применяем свойство геометрической прогрессии:

$(b_2+7)^2 = (b_1+5)(b_3+5)$ (3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений для нахождения $b_1, b_2, b_3$. Раскроем скобки в уравнении (3):

$b_2^2 + 14b_2 + 49 = b_1b_3 + 5b_1 + 5b_3 + 25$

$b_2^2 + 14b_2 + 49 = b_1b_3 + 5(b_1 + b_3) + 25$

Подставим в это уравнение выражения из уравнений (1) и (2): заменим $b_1b_3$ на $b_2^2$ и $b_1+b_3$ на $2b_2+12$.

$b_2^2 + 14b_2 + 49 = b_2^2 + 5(2b_2 + 12) + 25$

Сократим $b_2^2$ в обеих частях:

$14b_2 + 49 = 10b_2 + 60 + 25$

$14b_2 + 49 = 10b_2 + 85$

$14b_2 - 10b_2 = 85 - 49$

$4b_2 = 36$

$b_2 = 9$

Зная $b_2$, мы можем найти сумму $b_1+b_3$ из уравнения (2):

$b_1 + b_3 = 2(9) + 12 = 18 + 12 = 30$

Также из уравнения (1) мы знаем произведение $b_1b_3$:

$b_1b_3 = b_2^2 = 9^2 = 81$

Теперь нам нужно найти два числа, $b_1$ и $b_3$, зная их сумму (30) и произведение (81). Эти числа являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 30t + 81 = 0$.Решим это уравнение. По теореме Виета, корни уравнения — это числа, которые в сумме дают 30, а в произведении 81. Это числа 3 и 27.Таким образом, у нас есть два возможных набора для $(b_1, b_3)$: $(3, 27)$ или $(27, 3)$.

Рассмотрим оба варианта:

1. Если $b_1=3$ и $b_3=27$, то, учитывая $b_2=9$, исходные числа: 3, 9, 27. Эта последовательность является возрастающей ($3<9<27$), что соответствует условию задачи.

2. Если $b_1=27$ и $b_3=3$, то исходные числа: 27, 9, 3. Эта последовательность является убывающей ($27>9>3$), что противоречит условию задачи.

Следовательно, единственно верным решением являются числа 3, 9 и 27.

Проверим найденное решение.
Исходная последовательность: 3, 9, 27. Это возрастающая геометрическая прогрессия со знаменателем $q=3$.
Увеличиваем второе число на 6: 3, 15, 27. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=12$.
В последней последовательности увеличиваем первое и третье числа на 5, а второе на 1: $3+5=8$, $15+1=16$, $27+5=32$. Последовательность 8, 16, 32 является геометрической прогрессией со знаменателем $q=2$.
Все условия выполнены.

Ответ: 3, 9, 27.