Номер 33.41, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.41, страница 215.

33.41. a) $\begin{cases} x + y = -1, \\ x - z = 2, \\ xy + xz + yz = -1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + 2z = 0, \\ x + 2y + z = 1, \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -1 \\ x - z = 2 \\ xy + xz + yz = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = -1 - x$. Из второго уравнения выразим $z$: $z = x - 2$. Подставим эти выражения в третье уравнение системы:

$x(-1 - x) + x(x - 2) + (-1 - x)(x - 2) = -1$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-x - x^2 + x^2 - 2x + (-x + 2 - x^2 + 2x) = -1$

$-3x - x + 2 - x^2 + 2x = -1$

$-x^2 - 2x + 2 = -1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение с положительным старшим коэффициентом:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Корни этого уравнения можно найти, разложив его на множители: $(x + 3)(x - 1) = 0$. Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$ и $z$ для каждого корня.

1. При $x_1 = 1$:

$y_1 = -1 - x_1 = -1 - 1 = -2$

$z_1 = x_1 - 2 = 1 - 2 = -1$

Таким образом, первое решение: $(1, -2, -1)$.

2. При $x_2 = -3$:

$y_2 = -1 - x_2 = -1 - (-3) = 2$

$z_2 = x_2 - 2 = -3 - 2 = -5$

Таким образом, второе решение: $(-3, 2, -5)$.

Ответ: $(1, -2, -1)$, $(-3, 2, -5)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ x + 2y + z = 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5 \end{cases} $

Для решения системы начнем с первых двух линейных уравнений. Вычтем первое уравнение из второго:

$(x + 2y + z) - (x + y + 2z) = 1 - 0$, что дает $y - z = 1$, или $y = z + 1$.

Теперь выразим $x$ через $z$. Подставим $y = z + 1$ в первое уравнение:

$x + (z + 1) + 2z = 0$, что дает $x + 3z + 1 = 0$, или $x = -3z - 1$.

Теперь, имея выражения для $x$ и $y$ через $z$, подставим их в третье уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = 5$:

$(-3z - 1)^2 + (z + 1)^2 + z^2 = 5$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(9z^2 + 6z + 1) + (z^2 + 2z + 1) + z^2 = 5$

$11z^2 + 8z + 2 = 5$

$11z^2 + 8z - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $z$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-3) = 64 + 132 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения находятся по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_1 = \frac{-8 + 14}{2 \cdot 11} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$

$z_2 = \frac{-8 - 14}{2 \cdot 11} = \frac{-22}{22} = -1$

Найдем соответствующие значения $x$ и $y$ для каждого значения $z$.

1. При $z_1 = \frac{3}{11}$:

$x_1 = -3z_1 - 1 = -3(\frac{3}{11}) - 1 = -\frac{9}{11} - \frac{11}{11} = -\frac{20}{11}$

$y_1 = z_1 + 1 = \frac{3}{11} + 1 = \frac{3}{11} + \frac{11}{11} = \frac{14}{11}$

Первое решение: $(-\frac{20}{11}, \frac{14}{11}, \frac{3}{11})$.

2. При $z_2 = -1$:

$x_2 = -3z_2 - 1 = -3(-1) - 1 = 3 - 1 = 2$

$y_2 = z_2 + 1 = -1 + 1 = 0$

Второе решение: $(2, 0, -1)$.

Ответ: $(-\frac{20}{11}, \frac{14}{11}, \frac{3}{11})$, $(2, 0, -1)$.