Номер 34.2, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.2, страница 216.

34.2. При каких значениях параметра b уравнение $b^2x - x + 2 = b^2 + b$:

а) имеет ровно один корень;

б) не имеет корней;

в) имеет более одного корня?

Для решения задачи преобразуем данное уравнение к стандартному линейному виду $Ax = B$.

Исходное уравнение: $b^2x - x + 2 = b^2 + b$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а остальные — в правую:

$b^2x - x = b^2 + b - 2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:

$(b^2 - 1)x = b^2 + b - 2$

Это линейное уравнение относительно $x$ с коэффициентом $A = b^2 - 1$ и свободным членом $B = b^2 + b - 2$. Количество решений зависит от значений $A$ и $B$.

Разложим выражения для $A$ и $B$ на множители для удобства анализа:

$A = b^2 - 1 = (b-1)(b+1)$

$B = b^2 + b - 2$. Найдем корни квадратного трехчлена $b^2 + b - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $b_1 = 1$ и $b_2 = -2$. Следовательно, $B = (b-1)(b+2)$.

Теперь уравнение имеет вид:

$(b-1)(b+1)x = (b-1)(b+2)$

Рассмотрим условия для каждого из пунктов.

а) имеет ровно один корень;

Линейное уравнение имеет ровно один корень, когда коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $A \neq 0$.

$b^2 - 1 \neq 0$

$(b-1)(b+1) \neq 0$

Это неравенство выполняется, если $b-1 \neq 0$ и $b+1 \neq 0$, то есть $b \neq 1$ и $b \neq -1$.

При этих значениях $b$ уравнение имеет единственный корень $x = \frac{B}{A} = \frac{(b-1)(b+2)}{(b-1)(b+1)} = \frac{b+2}{b+1}$.

Ответ: уравнение имеет ровно один корень при $b \neq 1$ и $b \neq -1$.

б) не имеет корней;

Линейное уравнение не имеет корней, когда коэффициент при $x$ равен нулю ($A=0$), а свободный член не равен нулю ($B \neq 0$).

Условие $A=0$ выполняется, когда $b^2 - 1 = 0$, то есть при $b=1$ или $b=-1$.

Проверим значение $B$ для этих значений $b$:

• При $b = 1$: $B = (1-1)(1+2) = 0 \cdot 3 = 0$. Этот случай не подходит, так как $B$ должно быть не равно нулю.
• При $b = -1$: $B = (-1-1)(-1+2) = (-2) \cdot 1 = -2$. В этом случае $B \neq 0$.

Таким образом, при $b=-1$ мы имеем $A=0$ и $B=-2$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = -2$, которое не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет корней при $b = -1$.

в) имеет более одного корня?

Линейное уравнение имеет более одного корня (бесконечное множество корней), когда и коэффициент при $x$, и свободный член равны нулю, то есть $A=0$ и $B=0$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $A=0$ при $b=1$ или $b=-1$. Мы также вычислили значения $B$ для этих случаев:

• При $b = 1$: $A=0$ и $B=0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, которое верно для любого действительного числа $x$. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней.
• При $b = -1$: $A=0$, но $B=-2 \neq 0$. Этот случай не подходит.

Следовательно, уравнение имеет более одного корня только при $b=1$.

Ответ: уравнение имеет более одного корня при $b = 1$.