Номер 33.42, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.42, страница 215.

33.42. Составьте уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$, если известно, что она проходит через точки $M, P, Q$:

a) $M(1; -2)$, $P(-1; 8)$, $Q(0; 1)$;

б) $M(-1; 6)$, $P(2; 9)$, $Q(1; 2)$.

а)

Чтобы найти уравнение параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, проходящей через три заданные точки M(1; -2), P(-1; 8) и Q(0; 1), нужно подставить координаты этих точек в уравнение параболы. Это приведет к системе из трех линейных уравнений с тремя неизвестными $a$, $b$ и $c$.

1. Для точки M(1; -2):
Подставляем $x=1$ и $y=-2$ в уравнение $y = ax^2 + bx + c$:
$-2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \implies a + b + c = -2$

2. Для точки P(-1; 8):
Подставляем $x=-1$ и $y=8$ в уравнение:
$8 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \implies a - b + c = 8$

3. Для точки Q(0; 1):
Подставляем $x=0$ и $y=1$ в уравнение:
$1 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \implies c = 1$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} a + b + c = -2 \\ a - b + c = 8 \\ c = 1 \end{cases} $

Из третьего уравнения сразу известно, что $c = 1$. Подставим это значение в первые два уравнения:

$ \begin{cases} a + b + 1 = -2 \\ a - b + 1 = 8 \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} a + b = -3 \\ a - b = 7 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $a$:

$(a + b) + (a - b) = -3 + 7$

$2a = 4 \implies a = 2$

Теперь подставим значение $a = 2$ в первое уравнение полученной системы ($a+b=-3$), чтобы найти $b$:

$2 + b = -3 \implies b = -5$

Таким образом, мы нашли коэффициенты: $a = 2$, $b = -5$, $c = 1$.

Искомое уравнение параболы:

Ответ: $y = 2x^2 - 5x + 1$

б)

Аналогично пункту а), составим систему уравнений для точек M(-1; 6), P(2; 9) и Q(1; 2) и уравнения параболы $y = ax^2 + bx + c$.

1. Для точки M(-1; 6):
$6 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \implies a - b + c = 6$

2. Для точки P(2; 9):
$9 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c \implies 4a + 2b + c = 9$

3. Для точки Q(1; 2):
$2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \implies a + b + c = 2$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} a - b + c = 6 & (1) \\ 4a + 2b + c = 9 & (2) \\ a + b + c = 2 & (3) \end{cases} $

Сложим уравнения (1) и (3), чтобы исключить $b$:

$(a - b + c) + (a + b + c) = 6 + 2$

$2a + 2c = 8 \implies a + c = 4$ (4)

Теперь умножим уравнение (3) на -2 и сложим с уравнением (2), чтобы снова исключить $b$:

$-2(a + b + c) = -2 \cdot 2 \implies -2a - 2b - 2c = -4$

$(4a + 2b + c) + (-2a - 2b - 2c) = 9 - 4$

$2a - c = 5$ (5)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (4) и (5) с двумя неизвестными $a$ и $c$:

$ \begin{cases} a + c = 4 \\ 2a - c = 5 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(a + c) + (2a - c) = 4 + 5$

$3a = 9 \implies a = 3$

Подставим $a = 3$ в уравнение (4):

$3 + c = 4 \implies c = 1$

Наконец, подставим $a = 3$ и $c = 1$ в исходное уравнение (3), чтобы найти $b$:

$3 + b + 1 = 2$

$b + 4 = 2 \implies b = -2$

Мы нашли коэффициенты: $a = 3$, $b = -2$, $c = 1$.

Искомое уравнение параболы:

Ответ: $y = 3x^2 - 2x + 1$